Для оформлення залу потрібно зробити 80 рамок трикутної форми. Креслення рамки зображене в масштабі 1 : 30. Обчислити, скільки метрів дощечок потрібно, щоб зробити всі рамки.
1) Вопрос о том, стоит ли верить заявлению, требует критического мышления и анализа. Давайте разберемся.
Для начала нам нужно понять, что такое средний доход. Предположим, что мы найдем средний доход всех граждан и обозначим его как X. Теперь по условию, 10% граждан имеют доход, который в 15 или более раз превышает X.
Для упрощения решения, будем считать, что у нас всего 100 граждан, чтобы было проще работать с процентами. Тогда 10% от 100 человек будет равно 10 гражданам. Эти 10 граждан имеют доход, который в 15 или более раз превышает X.
Теперь, чтобы определить, стоит ли верить заявлению, мы должны оценить, насколько вероятно, что 10 из 100 граждан действительно имеют такой доход.
Давайте посмотрим на предположение, что 10% граждан имеют доход, который в 15 или более раз превышает X, будучи неверным. То есть, что меньше (или больше) 10 граждан из 100 имеют доход, превышающий X в 15 или более раз.
Если это предположение неверно, то это означает, что меньше или больше 10 граждан имеют такой доход. Предположим, что меньше 10 граждан имеют такой доход. Тогда возникает следующий вопрос: насколько вероятно, что меньше 10 случайных граждан, взятых из общего количества всех граждан (100), будут иметь доход, превышающий X в 15 или более раз?
Для нахождения вероятности нам нужно знать количество элементарных исходов. У нас есть 100 граждан, из которых мы случайным образом выбираем менее, чем 10. Количество способов выбрать менее, чем 10 граждан из 100 равно количеству сочетаний из 100 по меньшему числу:
C(100,0) + C(100,1) + C(100,2) + ... + C(100,9)
Сумму данных комбинаций можно вычислить и увидеть, что она равна количеству всех возможных комбинаций, которые можно составить из 100 граждан (то есть 2^100). Таким образом, вероятность выбрать менее, чем 10 граждан с доходом, превышающим X в 15 или более раз, будет равна:
Теперь мы можем сравнить эту вероятность с некоторым пороговым значением для определения, стоит ли верить заявлению или нет. Если вероятность P(неверное предположение) меньше порогового значения, то мы можем считать, что заявление верно, иначе - заявление недостаточно обосновано.
2) Теперь давайте рассмотрим второй вопрос о бросании симметричной монеты четыре раза.
Когда мы бросаем монету, у нас есть два возможных исхода: орел или решка. Поскольку монета симметричная, вероятность выпадения орла и решки одинакова и составляет 0,5.
Теперь давайте составим элементарные исходы для этого эксперимента, учитывая, что нам нужно учесть количество выпавших орлов в каждом исходе:
Таким образом, у нас есть 16 возможных элементарных исходов в этом эксперименте, где каждый исход состоит из разного количества орлов.
Теперь, чтобы найти вероятности событий "выпало k орлов" для всех возможных k, мы должны поделить количество исходов, в которых выпало k орлов, на общее количество всех исходов (16 в данном случае).
Давайте проиллюстрируем это на примере:
Вероятность события "выпало 0 орлов" равна количеству исходов, в которых выпало 0 орлов (1 исход), поделенное на общее количество исходов (16):
P(выпало 0 орлов) = 1/16
Аналогично, мы можем найти вероятности для остальных событий:
P(выпало 1 орел) = количество исходов с 1 орлом / общее количество исходов
P(выпало 2 орла) = количество исходов с 2 орлами / общее количество исходов
и так далее...
Подставляя в каждую формулу соответствующие значения, мы можем найти вероятности для всех событий "выпало k орлов" для всех возможных k.
Для решения этой задачи нам понадобится применить биномиальное распределение.
Биномиальное распределение позволяет нам рассчитать вероятность появления определенного количества успехов (в данном случае выход из строя ламп) в определенном количестве независимых испытаний (в данном случае количество ламп).
Формула биномиального распределения такая:
P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
где:
P(X=k) - вероятность того, что выйдет из строя k ламп,
C(n, k) - количество сочетаний из n по k,
p - вероятность выхода из строя одной лампы,
n - общее количество ламп.
Теперь применим данную формулу к нашей задаче. У нас есть 12 ламп и каждая лампа может выйти из строя с вероятностью 0,4.
Для нахождения наивероятнейшего числа ламп, вышедших из строя, мы должны найти значение k, для которого вероятность P(X=k) максимальна.
Теперь давайте пошагово решим задачу:
Шаг 1: Найти количество сочетаний C(n, k). В данном случае n = 12 и k - количество ламп, вышедших из строя. Это можно рассчитать по формуле C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
Шаг 2: Расчитать вероятность P(X=k) для каждого значения k, от 0 до 12, используя формулу P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k). В данном случае p = 0,4.
Шаг 3: Найти значение k, для которого вероятность P(X=k) максимальна. Это будет наивероятнейшее число ламп, вышедших из строя.
Шаг 4: Предоставить ответ на вопрос задачи с обоснованием.
Итак, приступим к решению.
Шаг 1:
Количество сочетаний C(12, k) можно рассчитать следующим образом:
C(12, k) = 12! / (k! * (12-k)!).
Шаг 2:
Рассчитаем вероятность P(X=k) для каждого значения k, от 0 до 12. Используя формулу P(X=k) = C(12, k) * 0.4^k * (1-0.4)^(12-k), получаем следующие значения:
Шаг 3:
Теперь найдем значение k, для которого вероятность P(X=k) максимальна. Из перечисленных выше значений видно, что максимальная вероятность достигается при k=4 (P(X=4) = 0.250822).
Шаг 4:
Ответ: Наивероятнейшее число ламп, вышедших из строя в течение гарантийного срока, равно 4. Это количество ламп, для которого вероятность выхода из строя максимальна.
Для начала нам нужно понять, что такое средний доход. Предположим, что мы найдем средний доход всех граждан и обозначим его как X. Теперь по условию, 10% граждан имеют доход, который в 15 или более раз превышает X.
Для упрощения решения, будем считать, что у нас всего 100 граждан, чтобы было проще работать с процентами. Тогда 10% от 100 человек будет равно 10 гражданам. Эти 10 граждан имеют доход, который в 15 или более раз превышает X.
Теперь, чтобы определить, стоит ли верить заявлению, мы должны оценить, насколько вероятно, что 10 из 100 граждан действительно имеют такой доход.
Давайте посмотрим на предположение, что 10% граждан имеют доход, который в 15 или более раз превышает X, будучи неверным. То есть, что меньше (или больше) 10 граждан из 100 имеют доход, превышающий X в 15 или более раз.
Если это предположение неверно, то это означает, что меньше или больше 10 граждан имеют такой доход. Предположим, что меньше 10 граждан имеют такой доход. Тогда возникает следующий вопрос: насколько вероятно, что меньше 10 случайных граждан, взятых из общего количества всех граждан (100), будут иметь доход, превышающий X в 15 или более раз?
Для нахождения вероятности нам нужно знать количество элементарных исходов. У нас есть 100 граждан, из которых мы случайным образом выбираем менее, чем 10. Количество способов выбрать менее, чем 10 граждан из 100 равно количеству сочетаний из 100 по меньшему числу:
C(100,0) + C(100,1) + C(100,2) + ... + C(100,9)
Сумму данных комбинаций можно вычислить и увидеть, что она равна количеству всех возможных комбинаций, которые можно составить из 100 граждан (то есть 2^100). Таким образом, вероятность выбрать менее, чем 10 граждан с доходом, превышающим X в 15 или более раз, будет равна:
P(менее 10 граждан) = (C(100,0) + C(100,1) + C(100,2) + ... + C(100,9)) / 2^100
Аналогично, мы можем вычислить вероятность выбрать более 10 граждан с доходом, превышающим X в 15 или более раз:
P(более 10 граждан) = (C(100,11) + C(100,12) + ... + C(100,100)) / 2^100
Наконец, мы можем вычислить вероятность, что предположение о 10% граждан с доходом, превышающим X в 15 или более раз, неверно:
P(неверное предположение) = P(менее 10 граждан) + P(более 10 граждан)
Теперь мы можем сравнить эту вероятность с некоторым пороговым значением для определения, стоит ли верить заявлению или нет. Если вероятность P(неверное предположение) меньше порогового значения, то мы можем считать, что заявление верно, иначе - заявление недостаточно обосновано.
2) Теперь давайте рассмотрим второй вопрос о бросании симметричной монеты четыре раза.
Когда мы бросаем монету, у нас есть два возможных исхода: орел или решка. Поскольку монета симметричная, вероятность выпадения орла и решки одинакова и составляет 0,5.
Теперь давайте составим элементарные исходы для этого эксперимента, учитывая, что нам нужно учесть количество выпавших орлов в каждом исходе:
Орел, орел, орел, орел (4 орла)
Орел, орел, орел, решка (3 орла, 1 решка)
Орел, орел, решка, орел (3 орла, 1 решка)
Орел, режка, орел, орел (3 орла, 1 решка)
...
Решка, решка, решка, решка (0 орлов, 4 решки)
Таким образом, у нас есть 16 возможных элементарных исходов в этом эксперименте, где каждый исход состоит из разного количества орлов.
Теперь, чтобы найти вероятности событий "выпало k орлов" для всех возможных k, мы должны поделить количество исходов, в которых выпало k орлов, на общее количество всех исходов (16 в данном случае).
Давайте проиллюстрируем это на примере:
Вероятность события "выпало 0 орлов" равна количеству исходов, в которых выпало 0 орлов (1 исход), поделенное на общее количество исходов (16):
P(выпало 0 орлов) = 1/16
Аналогично, мы можем найти вероятности для остальных событий:
P(выпало 1 орел) = количество исходов с 1 орлом / общее количество исходов
P(выпало 2 орла) = количество исходов с 2 орлами / общее количество исходов
и так далее...
Подставляя в каждую формулу соответствующие значения, мы можем найти вероятности для всех событий "выпало k орлов" для всех возможных k.