Question

Напишите уравнение асимтоты гиперболы
​

$3{x}^{2} - 4 {y}^{2} = 12$

Answer 1

$3 {x}^{2} - 4 {y}^{2} = 12 \\ - 4 {y}^{2} = 12 - 3 {x}^{2} \\ 4 {y}^{2} = 3 {x}^{2} - 12 \\ {y}^{2} = \frac{3 {x}^{2} - 12}{4} \\ y = ± \frac{ \sqrt{ 3{x}^{2} - 12 } }{2}$

Пусть уравнение асимптоты к гиперболе: $y=kx+b$, где $k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$, а $b = \lim_{x \to \infty}(y - kx)$

Найдём значения k и b для 2 случаев:

$1) \: y = \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } }{2}, \: x \geqslant 2 \\ 2) \: y = - \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } }{2} , \: x \leqslant - 2$

Случай первый:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } }{2} }{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } }{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{ {x}^{2}(3 - \frac{12}{ {x}^{2} }) } }{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{3 + \frac{12}{ {x}^{2} } } }{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{3 + \frac{12}{ {x}^{2} } } }{2} = \frac{ \sqrt{3 + 0} }{2} = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

$b = \lim_{x \to \infty}( \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } }{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} x) = \lim_{x \to \infty}( \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12} - \sqrt{3} x }{2} ) = \lim_{x \to \infty}( \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } - \sqrt{3}x }{2} \times \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } + \sqrt{3} x }{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12} + \sqrt{3} x} ) = \lim_{x \to \infty} \frac{3 {x}^{2} - 12 - 3 {x}^{2} }{2( \sqrt{3 {x}^{2} - 12} + 3x) } = \lim_{x \to \infty} \frac{ - 6}{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12} + 3x} = \frac{ - 6}{ \infty } = 0$

Итого, первая асимптота: $y_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$

Случай второй:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{ - \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } }{2} }{x} = - \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } }{2x} = - \frac{ \sqrt{3} }{2}$

$b = \lim_{x \to \infty}( \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } }{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2} x) = \lim_{x \to \infty}( \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12} + \sqrt{3} x }{2} ) = \lim_{x \to \infty}( \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } + \sqrt{3}x }{2} \times \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } - \sqrt{3} x }{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12} - \sqrt{3} x} ) = \lim_{x \to \infty} \frac{3 {x}^{2} - 12 - 3 {x}^{2} }{2( \sqrt{3 {x}^{2} - 12} - 3x) } = \lim_{x \to \infty} \frac{ - 6}{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12} - 3x} = \frac{ - 6}{ \infty } = 0$

Вторая асимптота: $y_{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}x$

ответ: $y_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$, $y_{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}x$