Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями: y₁=x+2 , y₂=2x - (x^2/2) + 6
или y = -0,5х² + 2x + 6 и y=x+2
для выявления пределов интегрирования найдём точки пересечения графиков этих двух функций, приравняв их правые части
-0,5х² + 2x + 6 = x + 2
-0,5х² + x + 4 = 0
или
-х² + 2х + 8 = 0
D = 4 + 32 = 36
√D = 6
x₁ = (-2 + 6):(-2) = -2
x₂ = (-2 - 6):(-2) = 4
Итак, интегрируем в пределах: -2 и 4.
Теперь надо решить, какая из функций проходит выше другой
найдём вершину параболы f(x) = -0.5х² + 2х + 6
m = -2:(-1) = 2; n = -2+ 4 + 6 = 8
в точке х = 2 прямая y=x+2 имеет у =4, а кривая y = -0.5х² + 2х + 6 имеет у = 8
в точке x₁ = -2 и в точке x₂ = 4 значения обеих функций совпадают.
Очевидно, что парабола в интервале от -2 до 4 проходит выше.
Находим интеграл
∫(у₂ - у₁)dx = ∫(-0.5х² + 2х + 6 - (x+2))dx =
= ∫(-0.5х² + х + 4)dx =
= -х³/6 + х²/2 + 4x
Подставим пределы и вычислим площадь
S = 8/6 + 4/2 - 4·2 - (-64/6 + 16/2 + 4·4) =
= 4/3 + 2 - 8 + 32/3 - 8 + 16 = 14
ответ: S = 14
Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями: y₁=x+2 , y₂=2x - (x^2/2) + 6
или y = -0,5х² + 2x + 6 и y=x+2
для выявления пределов интегрирования найдём точки пересечения графиков этих двух функций, приравняв их правые части
-0,5х² + 2x + 6 = x + 2
-0,5х² + x + 4 = 0
или
-х² + 2х + 8 = 0
D = 4 + 32 = 36
√D = 6
x₁ = (-2 + 6):(-2) = -2
x₂ = (-2 - 6):(-2) = 4
Итак, интегрируем в пределах: -2 и 4.
Теперь надо решить, какая из функций проходит выше другой
найдём вершину параболы f(x) = -0.5х² + 2х + 6
m = -2:(-1) = 2; n = -2+ 4 + 6 = 8
в точке х = 2 прямая y=x+2 имеет у =4, а кривая y = -0.5х² + 2х + 6 имеет у = 8
в точке x₁ = -2 и в точке x₂ = 4 значения обеих функций совпадают.
Очевидно, что парабола в интервале от -2 до 4 проходит выше.
Находим интеграл
∫(у₂ - у₁)dx = ∫(-0.5х² + 2х + 6 - (x+2))dx =
= ∫(-0.5х² + х + 4)dx =
= -х³/6 + х²/2 + 4x
Подставим пределы и вычислим площадь
S = 8/6 + 4/2 - 4·2 - (-64/6 + 16/2 + 4·4) =
= 4/3 + 2 - 8 + 32/3 - 8 + 16 = 14
ответ: S = 14