Для нахождения экстремумов функции, нужно найти ее производную и найти значения x, при которых производная равна нулю или не существует.
A) Для функции f(x) = x^3 - x^2 - x + 2:
1. Найдем первую производную функции f(x):
f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 (по правилу для нахождения производной полинома)
2. Теперь приравняем f'(x) к нулю и найдем значения x:
3x^2 - 2x - 1 = 0
Как-то решить это уравнение аналитически сложно, поэтому воспользуемся квадратным уравнением x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).
Здесь a = 3, b = -2, c = -1.
x = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4*3*(-1))) / (2*3)
x = (2 ± √(4 + 12)) / 6
x = (2 ± √16) / 6
x = (2 ± 4) / 6
x₁ = (2 + 4) / 6 = 1
x₂ = (2 - 4) / 6 = -1/3
3. Проверим значения x₁ и x₂ второй производной для определения типа экстремума.
Подставим значения x во вторую производную f''(x) = 6x - 2:
f''(x₁) = 6*1 - 2 = 4, значит x₁ - точка минимума
f''(x₂) = 6*(-1/3) - 2 = -4, значит x₂ - точка максимума
Ответ: Функция f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 имеет минимум при x = 1 и максимум при x = -1/3.
Б) Для функции f(x) = e^x(5 - 4x):
1. Найдем первую производную функции f(x):
f'(x) = e^x(5 - 4x) + e^x(-4) (по правилу производной произведения)
2. Теперь приравняем f'(x) к нулю и найдем значения x:
e^x(5 - 4x) - 4e^x = 0
Вынесем e^x за скобку:
e^x = 4e^x / (5 - 4x)
1 = 4 / (5 - 4x)
5 - 4x = 4
-4x = -1
x = 1/4
3. Проверим значение x второй производной для определения типа экстремума.
Подставим значение x во вторую производную f''(x) = -8e^x + 8e^x(-4x+1):
f''(1/4) = -8e^(1/4) + 8e^(1/4)(-4(1/4)+1) = -8e^(1/4) + 8e^(1/4)(-1) = -8e^(1/4) - 8e^(1/4) = -16e^(1/4), значит x - точка максимума.
Ответ: Функция f(x) = e^x(5 - 4x) имеет максимум при x = 1/4.
4) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 на отрезке [-1;3/2], необходимо
- найти значения функции на концах отрезка,
- найти значения функции в точках экстремумов на отрезке,
- выбрать наибольшее и наименьшее значение среди найденных значений.
Вычислим значения функции в крайних точках отрезка:
f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 1 + 1 + 2 = 1
f(3/2) = (3/2)^3 - (3/2)^2 - (3/2) + 2 = 27/8 - 9/4 - 3/2 + 2 = (27 - 18 - 12 + 16) / 8 = 13/8
Теперь найдем значения функции в точках экстремума x = -1/3 и x = 1:
f(-1/3) = (-1/3)^3 - (-1/3)^2 - (-1/3) + 2 = -1/27 - 1/9 + 1/3 + 2 = (-1 - 3 + 9 + 54) / 27 = 59/27
f(1) = (1)^3 - (1)^2 - (1) + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1
И, наконец, выберем наибольшее и наименьшее значение среди найденных значений:
Наименьшее значение функции: 1
Наибольшее значение функции: 59/27
Ответ: Наибольшее значение функции f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 на отрезке [-1;3/2] равно 59/27, а наименьшее значение равно 1.
