Question

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 и параллельную прямой L2.

L1 x+2/-2=y-1/3=z-3/2
L2 3x+4y+5z-26=0
3x-3y-2z-5=0

Answer 1

Даны две прямые:

L1: (x+2)/-2=y-1/3=z-3/2 ,

L2: { 3x+4y+5z-26=0 ,

     {3x-3y-2z-5=0.

Найдем направляющий вектор второй прямой L2. заданной системой двух уравнений:  

{3x+4y+5z-26=0

{3x-3y-2z-5=0.

Находим направляющий вектор прямой L2 , для этого находим векторное произведение нормальных векторов двух плоскостей, задающих эту прямую.

Первый имеет координаты (3; 4; 5), второй (3; -3;–2).

Их векторное произведение равно:

i         j         k|       i        j

3        4        5|      3       4

3       -3       -2|      3      -3    = -8i + 15j  - 9k + 6j + 15i - 12k =

                                           = 7i + 21j – 21k.

Направляющий вектор прямой L2 это (7; 21; -21). или можно взять коллинеарный ему вектор (1; 3; -3), т.е. q2{1; 3; -3}.

Направляющий вектор прямой L1, заданной каноническим уравнением, равен q1{-2; 3; 2}, т. М1(-2; 1;-3) -точка лежащая на прямой L1 (это видно по условию задачи).

Вектор MM1{x+2; y-1; z-3} - проходящий через т.М1 на прямой и принадлежащий плоскости.

Векторы MM1, q1, q2 - компланарны, это значит что их смешанное произведение равно нулю.

x+2      y-1      z-3|      x+2      y-1

 -2        3           2|        -2        3

  1        3          -3|        1         3  = (x + 2)*(-9) + (y – 1)*3  + (z – 3)*(-6) – (y – 1)*6 – (x + 2)*6 – (z – 3)*3 =   -15x - 4y - 9z + 1 = 0                  

Определитель системы находим по треугольной схеме и, приведя подобные, приходим к уравнению плоскости (умножив на -1):  

15x + 4y+ 9z - 1=0.