Добрый день! Давайте рассмотрим каждый вопрос по порядку.
1) Чтобы нарисовать параллелепипед АВСДА1В1С1Д1, мы должны представить себе трехмерную систему координат.
Пусть векторы АД (СД) и ВС обозначены как a и b соответственно, а векторы АС, АВ, А1С1 и А1В1 обозначим как c, d, e и f.
a) Изобразите на рисунке векторы a, b, c, d:
- Рисуем вектор a, начиная от точки А вдоль оси ОХ в правом направлении (так как координата х увеличивается) на длину параллелепипеда, а затем переводим его конец в точку Д.
- Рисуем вектор b, начиная от точки В вдоль оси ОХ вправо (как и a) на длину параллелепипеда, а затем переводим его конец в точку С.
- Вектор c начинаем в точке А и переносим его в точку С1.
- Вектор d начинаем в точке А и переносим его в точку В1.
б) Теперь нужно изобразить вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов a и b:
- Начинаем его на точке А, затем перемещаем его в точку Д, а затем оттуда в точку С1, затем в точку С, затем в точку В1, и наконец в точку В.
в) Теперь разложим вектор e (который начинается в точке С1 и заканчивается в точке В1) по векторам a, b, c и d.
- Мы можем представить вектор e как сумму векторов a, b, c и d:
e = a + b + c + d.
2) Даны векторы a{-1; 2; 0}, b{0; -5; -2}, c{2; 1; -3}. Найдем координаты вектора р = 3а - 2а + с:
- Умножим каждую координату вектора а на 3: 3 * (-1), 3 * 2, 3 * 0 = -3, 6, 0.
- Умножим каждую координату вектора а на -2: -2 * (-1), -2 * 2, -2 * 0 = 2, -4, 0.
- Сложим результаты:
координата х результата = -3 + 2 + 2 = 1,
координата у результата = 6 + (-4) + 1 = 3,
координата z результата = 0 + 0 + (-3) = -3.
Таким образом, координаты вектора р равны {1; 3; -3}.
3) Даны точки А(4; -3; 5), В(6; -7; 5), С(5; 2; 1) и Д(3; 6; 1). Докажем, что АВСД - параллелограмм.
- Для доказательства параллелограмма, необходимо проверить, что вектор АС равен вектору BD и вектор АВ равен вектору СD.
- Вычислим векторы и сравним их:
Вектор АС = вектор С - вектор А = (5 - 4; 2 - (-3); 1 - 5) = (1; 5; -4).
Вектор BD = вектор Д - вектор В = (3 - 6; 6 - (-7); 1 - 5) = (-3; 13; -4).
Вектор АВ = вектор В - вектор А = (6 - 4; -7 - (-3); 5 - 5) = (2; -4; 0).
Вектор СD = вектор Д - вектор С = (3 - 5; 6 - 2; 1 - 1) = (-2; 4; 0).
- Векторы АС и BD равны: (1; 5; -4) = (-3; 13; -4).
- Векторы АВ и СD равны: (2; -4; 0) = (-2; 4; 0).
- Таким образом, векторы АС и BD равны, и векторы АВ и СD равны. Значит, АВСД - параллелограмм.
4) Чтобы вычислить угол между векторами АВ и СD, воспользуемся формулой
cosθ = (АВ·CD) / (|АВ|·|CD|),
где АВ·CD - скалярное произведение векторов АВ и СD,
|АВ| и |СD| - длины векторов АВ и СD соответственно.
Добрый день! Рад принять участие в роли вашего школьного учителя и помочь с решением задач по теме "отношения и пропорции".
1. Найти неизвестный член пропорции:
1) 6 : 5 = x : 75
Пропорция можно решить с помощью перекрестного умножения. Это значит, что произведение чисел внешних частей пропорции равно произведению чисел внутренних частей пропорции.
6 * 75 = 5 * x
450 = 5x
Чтобы найти значение x, мы делим обе части уравнения на 5:
450 / 5 = x
90 = x
Ответ: x = 90
2) r : 1 = 1 : 50
Здесь у нас есть пропорция, где одна из частей равна 1. Чтобы найти значение r, мы можем применить перекрестное умножение:
1 * r = 1 * 50
r = 50
Ответ: r = 50
3) 7 : 8 = y : 96
Применяем перекрестное умножение:
7 * 96 = 8 * y
672 = 8y
Делим обе части уравнения на 8, чтобы найти y:
672 / 8 = y
84 = y
Ответ: y = 84
4) y / 2 = 7
У нас есть уравнение, в котором значение y делится на 2. Чтобы найти значение y, нужно умножить обе части уравнения на 2:
y / 2 * 2 = 7 * 2
y = 14
Ответ: y = 14
5) у / 8 = 4
Будем решать это уравнение так же, как предыдущее:
у / 8 * 8 = 4 * 8
y = 32
Ответ: y = 32
6) 8 : 7 = a : 56
Проводим перекрестное умножение:
8 * 56 = 7 * a
448 = 7a
Делим обе части уравнения на 7:
448 / 7 = a
64 = a
Ответ: a = 64
7) у = 4 * 2 + y
Для решения этого уравнения сначала выполняем операции в скобках:
1) Чтобы нарисовать параллелепипед АВСДА1В1С1Д1, мы должны представить себе трехмерную систему координат.
Пусть векторы АД (СД) и ВС обозначены как a и b соответственно, а векторы АС, АВ, А1С1 и А1В1 обозначим как c, d, e и f.
a) Изобразите на рисунке векторы a, b, c, d:
- Рисуем вектор a, начиная от точки А вдоль оси ОХ в правом направлении (так как координата х увеличивается) на длину параллелепипеда, а затем переводим его конец в точку Д.
- Рисуем вектор b, начиная от точки В вдоль оси ОХ вправо (как и a) на длину параллелепипеда, а затем переводим его конец в точку С.
- Вектор c начинаем в точке А и переносим его в точку С1.
- Вектор d начинаем в точке А и переносим его в точку В1.
б) Теперь нужно изобразить вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов a и b:
- Начинаем его на точке А, затем перемещаем его в точку Д, а затем оттуда в точку С1, затем в точку С, затем в точку В1, и наконец в точку В.
в) Теперь разложим вектор e (который начинается в точке С1 и заканчивается в точке В1) по векторам a, b, c и d.
- Мы можем представить вектор e как сумму векторов a, b, c и d:
e = a + b + c + d.
2) Даны векторы a{-1; 2; 0}, b{0; -5; -2}, c{2; 1; -3}. Найдем координаты вектора р = 3а - 2а + с:
- Умножим каждую координату вектора а на 3: 3 * (-1), 3 * 2, 3 * 0 = -3, 6, 0.
- Умножим каждую координату вектора а на -2: -2 * (-1), -2 * 2, -2 * 0 = 2, -4, 0.
- Сложим результаты:
координата х результата = -3 + 2 + 2 = 1,
координата у результата = 6 + (-4) + 1 = 3,
координата z результата = 0 + 0 + (-3) = -3.
Таким образом, координаты вектора р равны {1; 3; -3}.
3) Даны точки А(4; -3; 5), В(6; -7; 5), С(5; 2; 1) и Д(3; 6; 1). Докажем, что АВСД - параллелограмм.
- Для доказательства параллелограмма, необходимо проверить, что вектор АС равен вектору BD и вектор АВ равен вектору СD.
- Вычислим векторы и сравним их:
Вектор АС = вектор С - вектор А = (5 - 4; 2 - (-3); 1 - 5) = (1; 5; -4).
Вектор BD = вектор Д - вектор В = (3 - 6; 6 - (-7); 1 - 5) = (-3; 13; -4).
Вектор АВ = вектор В - вектор А = (6 - 4; -7 - (-3); 5 - 5) = (2; -4; 0).
Вектор СD = вектор Д - вектор С = (3 - 5; 6 - 2; 1 - 1) = (-2; 4; 0).
- Векторы АС и BD равны: (1; 5; -4) = (-3; 13; -4).
- Векторы АВ и СD равны: (2; -4; 0) = (-2; 4; 0).
- Таким образом, векторы АС и BD равны, и векторы АВ и СD равны. Значит, АВСД - параллелограмм.
4) Чтобы вычислить угол между векторами АВ и СD, воспользуемся формулой
cosθ = (АВ·CD) / (|АВ|·|CD|),
где АВ·CD - скалярное произведение векторов АВ и СD,
|АВ| и |СD| - длины векторов АВ и СD соответственно.
- Вычислим значения величин:
АВ·CD = (3 * 2) + (-2 * 4) + (4 * 0) = 6 - 8 = -2,
|АВ| = √(3² + (-2)² + 4²) = √(9 + 4 + 16) = √29,
|CD| = √((-2)² + 4² + 0²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5.
- Подставим полученные значения в формулу для нахождения cosθ:
cosθ = (-2) / (√29 * 2√5) = -2 / (2√145) = -1 / √145.
- Чтобы найти сам угол θ, нужно применить обратную тригонометрическую функцию cos⁻¹(-1 / √145):
θ = cos⁻¹(-1 / √145) ≈ 104.36°.
Таким образом, угол между векторами АВ и СD примерно равен 104.36°.
5) Даны векторы а = 5i - 2j + 4k и в = 3j + 2k. Найдем их скалярное произведение (а · в):
- Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:
а · в = 5 * 0 + (-2) * 3 + 4 * 2 = 0 - 6 + 8 = 2.
Таким образом, а · в = 2.