Решение. Убедимся, что точка не лежит на прямой, данной в условии:
4/5 ≠ (3-1)/-1 ≠ (1+3)/3.
Из уравнения данной прямой следует, что точка M1(0;1; -3) лежит на этой прямой.
Пусть M(x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости, тогда векторы MoM(x-4; y-3; z-1), M1Mo(4; 2; 4) и s(5; -1; 3) компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю:
Реконки́ста[1] (исп. и порт. Reconquista — отвоёвывание) — длительный процесс отвоевания пиренейскими христианами — в основном испанцами и португальцами — земель наПиренейском полуострове, занятых маврскими эмиратами. Изабелла Кастильская заложила свои драгоценности (ви таки не догадаетесь кому) и на эти деньги Кристобаль Колон снарядил три корабля для своей океанской экспедиции. На найм нормальных матросов денег не хватило - набрали разную сволочь из тюрем.
хронология: 2 января 1492 - падение Гранады и бегство последнего эмира Боабдила. 3 августа 1492 - отплытие эскадры Колона из Палос-де-ла-Фронтера. 12 октября 1492 - открытие Америки.
Обозначим золото - Х грамм, серебро - У грамм. Тогда Х+У=200 и Х/У=2/3. Решаем простую систему. Х=80 грамм золота, У=120 грамм серебра содержится в 200 граммовом слитке. То есть 40 % золота и 60% серебра. Далее обозначим Z количество чистого серебра, которое необходимо добавить в сплав, чтобы получилось 80 % серебра. Золота будет в граммах такое же количество, а в процентах уменьшится. В новом сплаве будет 20 % золота и 80 % серебра и относится золото к серебру будет как 20/80 или как 1/4. Составим уравнение 80/(120+Z)=1/4. Отсюда Z=200 грамм серебра необходимо добавить в сплав.
Провести плоскость через прямую
и точку Mo(4; 3; 1).
Решение. Убедимся, что точка не лежит на прямой, данной в условии:
4/5 ≠ (3-1)/-1 ≠ (1+3)/3.
Из уравнения данной прямой следует, что точка M1(0;1; -3) лежит на этой прямой.
Пусть M(x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости, тогда векторы MoM(x-4; y-3; z-1), M1Mo(4; 2; 4) и s(5; -1; 3) компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю:
x-4 y-3 z-1| x-4 y-3
4 2 4| 4 2
5 -1 3| 5 -1 =
= 6(x-4) + 20(y-3) - 4(z-1) - 12(y-3) + 4(x-4) - 10(z-1) =
= 6x -24 +20y - 60 - 4z + 4 - 12y + 36 + 4x - 16 - 10z + 10 =
= 10x + 8y - 14z - 50 = 0 или, сократив на 2:
5x + 4y - 7z - 25 = 0.
Таким образом, нормальный вектор искомой плоскости равен:
(5; 4; -7).