Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна p=0,3. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью 0,9573 отклонение относительной частоты попадания от вероятности p по абсолютной величине не превзошло 0,02?
Для решения данной задачи воспользуемся формулой Бернулли для расчета вероятности события, а также формулой для расчета стандартного отклонения относительной частоты.
Пусть X - случайная величина, равная числу попаданий в мишень при n выстрелах, а p - вероятность попадания при одном выстреле. Тогда X имеет биномиальное распределение с параметрами n и p.
Математическое ожидание биномиального распределения равно E(X) = n * p, а стандартное отклонение равно sqrt(n * p * (1 - p)).
Определим, сколько выстрелов нужно произвести, чтобы отклонение относительной частоты попадания не превышало 0,02.
По условию задачи, отклонение относительной частоты будет равно стандартному отклонению. То есть, нам нужно найти n, при котором sqrt(n * p * (1 - p)) <= 0,02.
Округлим 0,02 до двух знаков после запятой: 0,02.
Таким образом, мы получим неравенство sqrt(n * p * (1 - p)) <= 0,02.
Решим это неравенство, возведя обе части в квадрат:
n * p * (1 - p) <= 0,02^2,
n * p * (1 - p) <= 0,0004.
Используя значение p = 0,3, получаем:
n * 0,3 * (1 - 0,3) <= 0,0004,
n * 0,3 * 0,7 <= 0,0004,
n * 0,21 <= 0,0004.
Разделим обе части неравенства на 0,21:
n <= 0,0004 / 0,21,
n <= примерно 0,0019.
Таким образом, чтобы с вероятностью 0,9573 отклонение относительной частоты попадания от вероятности p по абсолютной величине не превзошло 0,02, необходимо произвести не менее 0,0019 выстрела.
Пусть X - случайная величина, равная числу попаданий в мишень при n выстрелах, а p - вероятность попадания при одном выстреле. Тогда X имеет биномиальное распределение с параметрами n и p.
Математическое ожидание биномиального распределения равно E(X) = n * p, а стандартное отклонение равно sqrt(n * p * (1 - p)).
Определим, сколько выстрелов нужно произвести, чтобы отклонение относительной частоты попадания не превышало 0,02.
По условию задачи, отклонение относительной частоты будет равно стандартному отклонению. То есть, нам нужно найти n, при котором sqrt(n * p * (1 - p)) <= 0,02.
Округлим 0,02 до двух знаков после запятой: 0,02.
Таким образом, мы получим неравенство sqrt(n * p * (1 - p)) <= 0,02.
Решим это неравенство, возведя обе части в квадрат:
n * p * (1 - p) <= 0,02^2,
n * p * (1 - p) <= 0,0004.
Используя значение p = 0,3, получаем:
n * 0,3 * (1 - 0,3) <= 0,0004,
n * 0,3 * 0,7 <= 0,0004,
n * 0,21 <= 0,0004.
Разделим обе части неравенства на 0,21:
n <= 0,0004 / 0,21,
n <= примерно 0,0019.
Таким образом, чтобы с вероятностью 0,9573 отклонение относительной частоты попадания от вероятности p по абсолютной величине не превзошло 0,02, необходимо произвести не менее 0,0019 выстрела.
Ответ: нужно произвести как минимум 1 выстрел.