А1.найдите cos²альфа, если cos 2 альфа=2/3 А2. Вычислите 4sin²альфа-5cos²альфа, если sin²альфа=2/3
А3. Упростите выражение cos π/5 × cos π/20 - sin π/5 × sin π/20
А4. Упростите выражение sin π/7 × cos 4π/21 + cos π/7 × sin 4π/21
А5. Вычислите cos(90°+30°) + cos(360°-60°)
A6. Упростите выражение 16cos² альфа/ 1+ctg² альфа
А7. Вычислите cos(360°+45°) + cos(270°-45°)
A8. Упростить выражение 8sin²альфа/ 1+ tg² альфа
А9. Найдите значение выражения 3sin2x × sinx - 3cos2x × cosx, если cos(3π-3x)=2/3
A10. Найдите значение выражения 3sinx × sin3x - 3cosx × cos3x, если 3cos(4π-4x)=-1
A11. Упростите выражение cos x/2 × cos(1/2(2π-x))-3-sin² x/2
A12. Упростить выражение cos2альфа × cos(2(2π+альфа))-3-sin²2альфа
А13. Вычислите 8-14cos²альфа, если sin альфа=-1/7
А14. Упростите выражение sin6альфа × cos4альфа + sin4альфа × cos6альфа - 2sin10альфа
Для решения этой задачи воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:
cos 2θ = 2cos²θ - 1
Из данного нам уравнения, мы знаем, что cos 2альфа = 2/3. Подставим это значение в формулу двойного угла:
2/3 = 2cos²альфа - 1
Теперь решим это уравнение относительно cos²альфа. Начнем с добавления 1 к обеим сторонам уравнения:
2/3 + 1 = 2cos²альфа
Упростим:
5/3 = 2cos²альфа
Теперь разделим обе стороны уравнения на 2:
5/6 = cos²альфа
Таким образом, cos²альфа равно 5/6.
А2. Вычислите 4sin²альфа - 5cos²альфа, если sin²альфа = 2/3
Мы знаем, что sin²альфа = 2/3. Подставим это значение в выражение:
4(2/3) - 5cos²альфа
Упростим:
8/3 - 5cos²альфа
Теперь мы знаем, что cos²альфа = 1 - sin²альфа. Подставим это значение:
8/3 - 5(1 - 2/3)
Упростим:
8/3 - 5/3 + 10/3
8/3 - 5/3 + 10/3 = 13/3
Таким образом, 4sin²альфа - 5cos²альфа равно 13/3.
А3. Упростите выражение cos π/5 × cos π/20 - sin π/5 × sin π/20
Для решения этой задачи, воспользуемся формулой разности для косинуса:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Здесь у нас есть требуемое выражение cos π/5 × cos π/20 - sin π/5 × sin π/20. Мы можем использовать альфа = π/5 и бета = π/20:
cos (π/5 - π/20) = cos π/5 cos π/20 + sin π/5 sin π/20
Мы также знаем, что cos (π/5 - π/20) = cos (4π/20 - π/20) = cos 3π/20. Подставим полученные значения:
cos 3π/20 = cos π/5 cos π/20 + sin π/5 sin π/20
Теперь вычислим значения cos π/5 и sin π/5:
cos π/5 = cos 4π/20 = cos 2π/10 = cos π/10
sin π/5 = sin 4π/20 = sin 2π/10 = sin π/10
Подставим значения:
cos 3π/20 = cos π/10 cos π/20 + sin π/10 sin π/20
Теперь воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций или калькулятором для нахождения значений cos π/10 и sin π/10.
cos π/10 ≈ 0.9659
sin π/10 ≈ 0.2588
Подставим эти значения:
cos 3π/20 ≈ 0.9659 cos π/20 + 0.2588 sin π/20
Теперь с помощью таблицы значений или калькулятора найдем значения cos π/20 и sin π/20.
cos π/20 ≈ 0.9877
sin π/20 ≈ 0.1606
Подставим:
cos 3π/20 ≈ 0.9659(0.9877) + 0.2588(0.1606)
Упростим:
cos 3π/20 ≈ 0.9537
Таким образом, упрощенное выражение равно приближенно 0.9537.
(Продолжение следует...)