где х0,у0, у'0, у0(n-1) – заданные числа. Если функция f (x,y,y',..., y(n-1)) непрерывна, а ее частные производные ограничены в области, содержащей точку (х0,у0, у'0, у0(n-1)), то существует единственное решение задачи Коши (10.1), (10.2).
Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений
(10.3)
заключается в отыскании решения y1= y1(x),…уn = уn(x)системы (10.3), удовлетворяющего начальным условиям
y1(x0)= у10, у2(x0)= у20, …, уn(x0)= уn0 , (10.4)
где х0, у10, у20, … уn0– заданные числа. Если функции f(x, у1,…, уn), непрерывны и имеют ограниченные частные производные в некоторой области, содержащей точку (х0, у10, у20, … уn0), то существует единственное решение задачи Коши (10.3), (10.4).
Известно, что систему дифференциальных уравнений, содержащую производные высших порядков и разрешенную относительно старших производных искомых функций, можно привести к системе вида (10.3) путем введения новых неизвестных функций. В частности, дифференциальное уравнение (10.1) порядка n приводится к системе вида (10.3) с замены
у1 = у', у2 = у" , …, у n-1= y (n-1),
что дает следующую систему
(10.5)
то есть систему n дифференциальных уравнений первого порядка, правая часть которых не зависит от производных искомых функций. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений традиционно изучают для уравнений первого порядка
а затем, как правило, без труда распространяют на нормальные системы дифференциальных уравнений вида (10.3). Так мы и поступим.
Итак, дано дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной
y' = f(x,у),(10.6)
и начальное условие
у (х0) = у0 (10.7)
Требуется численно решить задачу Коши (10.6), (10.7) на отрезке [x0, b]. Это решение будет состоять в построении таблицы приближенных значений у1, у2,…, уn искомого решения у = у(х)в точках х1, х2, …, хn = b, где yi ≈ y (xi),
. Для этого отрезок [x0, b] делят на n равных частей длины , так что xi = х0+ih, . Величина h называется шагом интегрирования.
Згодом, 18 червня 1991 року, були внесені відповідні зміни в статтю 73 Кодекси законів про працю Української РСР, внаслідок чого в переліку святкових днів з'явився запис: "16 липня - День незалежності України" (укр. 16 липня - День незалежності України). Оскільки 24 серпня 1991 року Верховна рада УРСР прийняла постанову про проголошення незалежності України, що набула чинності відразу після прийняття, а також Акт проголошення незалежності України, який 1 грудня 1991 року підтвердив народ на всеукраїнському референдумі, виникла необхідність змінити дату святкування Дня незалежності України. Тому 20 лютого 1992 року Верховна рада України прийняла постанову "Про День незалежності України" (укр. Про День незалежності України)
Наша страна каждый год празднует День Победы. Этот день занимает особое место среди отмечаемых праздников в нашей стране.На уроках истории, литературы и географии мы изучали историю нашей Родины. Немало времени уделяли изучению материала, связанного с Великой Отечественной войной. И только чуть-чуть коснулись темы «Труженики тыла в годы Великой Отечественной войны».Нас заинтересовала данная тема, и мы взяли ее для своей работы. Хотелось больше узнать о военном времени, о людях, внесших свой бесценный вклад в Победу над фашизмом. О людях, которые живут рядом с нами, об их судьбах, о жизни в довоенные и военные годы мы почти ничего не знаем.Этим было продиктовано наше желание узнать от живых свидетелей того времени о жизни народа в годы Великой Отечественной войны, познакомить со своими исследованиями как можно больше людей. Использовать материал можно на уроке истории, факультатива по краеведению, в музеях, на классных часах и.т.д. В этом заключается практическое значение нашей работы.
Для дифференциального уравнения n-го порядка
уn = f(x, у, у',…, у(n-1)) (10.1)
задача Коши заключается в отыскании решения у = у(х) уравнения (10.1), удовлетворяющего начальным условиям
у(х0) = у0, у'(х0)= у'0, …, у(n-1)(х0)= у0(n-1),(10.2)
где х0,у0, у'0, у0(n-1) – заданные числа. Если функция f (x,y,y',..., y(n-1)) непрерывна, а ее частные производные ограничены в области, содержащей точку (х0,у0, у'0, у0(n-1)), то существует единственное решение задачи Коши (10.1), (10.2).
Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений
(10.3)
заключается в отыскании решения y1= y1(x),…уn = уn(x)системы (10.3), удовлетворяющего начальным условиям
y1(x0)= у10, у2(x0)= у20, …, уn(x0)= уn0 , (10.4)
где х0, у10, у20, … уn0– заданные числа. Если функции f(x, у1,…, уn), непрерывны и имеют ограниченные частные производные в некоторой области, содержащей точку (х0, у10, у20, … уn0), то существует единственное решение задачи Коши (10.3), (10.4).
Известно, что систему дифференциальных уравнений, содержащую производные высших порядков и разрешенную относительно старших производных искомых функций, можно привести к системе вида (10.3) путем введения новых неизвестных функций. В частности, дифференциальное уравнение (10.1) порядка n приводится к системе вида (10.3) с замены
у1 = у', у2 = у" , …, у n-1= y (n-1),
что дает следующую систему
(10.5)
то есть систему n дифференциальных уравнений первого порядка, правая часть которых не зависит от производных искомых функций. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений традиционно изучают для уравнений первого порядка
а затем, как правило, без труда распространяют на нормальные системы дифференциальных уравнений вида (10.3). Так мы и поступим.
Итак, дано дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной
y' = f(x,у),(10.6)
и начальное условие
у (х0) = у0 (10.7)
Требуется численно решить задачу Коши (10.6), (10.7) на отрезке [x0, b]. Это решение будет состоять в построении таблицы приближенных значений у1, у2,…, уn искомого решения у = у(х)в точках х1, х2, …, хn = b, где yi ≈ y (xi),
. Для этого отрезок [x0, b] делят на n равных частей длины , так что xi = х0+ih, . Величина h называется шагом интегрирования.
Пошаговое объяснение: