Действительные числа х и у удовлетворяют соотношение х^2+у^2+ху=4; х^4+у^4+х^2у^2=8. Найдите значение - id1489708020211007 от valentinadeva2p0arnh 07.10.2021 13:25

Question

Математика: Действительные числа х и у удовлетворяют соотношение х^2+у^2+ху=4; х^4+у^4+х^2у^2=8. Найдите значение выражения х^6+у^6+х^3у^3

valentinadeva2p0arnh · Accepted Answer

Лемма: существует такое y-значное число вида XX...X (т.е. состоит из целиком из цифр X) такое, что оно делится на число 1987

Доказательство: число указанного вида можно представить в виде

$x\times\frac{10^{n+1}-1}{9}$ ; Сперва очевидно, что $10^{n+1}-1$ делится на 9. Согласно малой теореме Ферма $10^{1987-1}-1\equiv0 \mod 1987$ , так как 1987 - число простое. Так как 9 и 1987 взаимно просты, то число XX...X делится на 1987 для n+1=1986, т.е. для n=1985. $\square$

Итак, взяв например n=1985 получим число 1...19...98...86...6, которое раскладывается как $1...1\times 10^{3n}+9...9\times10^{2n}+8...8\times10^{n}+6...6$ , где каждое из чисел вида X...X делится на 1987

Действительные числа х и у удовлетворяют соотношение х^2+у^2+ху=4; х^4+у^4+х^2у^2=8. Найдите значение выражения х^6+у^6+х^3у^3

MOGZ ответил