Question

Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС проведен перпендикуляр АД к его плоскости. АД = 6 см, ∠АСВ = 90°, ∠АВС = 30°. Угол между плоскостями ВСД и АВС равен 60°. Вычислите: угол между плоскостями ВАД и САД;
длины наклонных ДС и ДВ. (рис. 3)

Answer 1

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться свойством перпендикуляра, которое гласит, что перпендикуляр к какой-либо плоскости содержит в себе все перпендикуляры к этой плоскости.

1. Найдем угол между плоскостью ВАД и САД:
Из условия задачи известно, что угол между плоскостью ВСД и АВС равен 60°. Поскольку ВАС и САД - это два перпендикулярных прямых к АД, то угол между плоскостью ВСД и ВАД будет таким же, как угол между плоскостью АВС и САД. Значит, угол между плоскостью ВАД и САД также равен 60°.


2. Найдем длины наклонных ДС и ДВ:
Для этого нам понадобятся две величины: AD и угол ВАС.
Из условия задачи известно, что AD = 6 см и ∠АВС = 30°.

По определению тангенса, тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
tg(∠ВАС) = BC/AB

Так как секущая, которая проведена перпендикулярно к радиусу, делит радиус на два соседних сегмента, это значит, что AB = BC + AD, отсюда BC = AB - AD.

Подставим известные значения в формулу:
tg(30°) = (AB - AD)/AB

tg(30°) = BC/AB

Отсюда BC = (AB - AD)tg(30°)

Далее, нам нужно найти угол ABC, чтобы найти BC.
Угол ABC равен 90° - ∠АСВ = 90° - 90° = 0°.

Подставляем полученные значения в формулу:
0 = (AB - AD)tg(30°)

AB - AD = 0

AB = AD

AB = 6 см.

Теперь, когда мы знаем длину AB, мы можем найти BC:
BC = AB - AD = 6 - 6 = 0 см.

Таким образом, длины наклонных ДС и ДВ равны 0 см.