Question

В партии из 13 деталей имеется 9 нестандартных. Берут 3 детали на удачу. Найти закон распределения дискретной случайной величины, равной числу стандартных деталей в выборке. Найти математическое ожидание, дисперсию.

Answer 1

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о комбинаторике и вероятности.

Закон распределения дискретной случайной величины можно найти, определив вероятности всех возможных значений этой величины. В данной задаче, в выборку из 3 деталей мы можем выбрать 0, 1, 2 или 3 стандартных детали.

1. Найдем вероятность выбрать 0 стандартных деталей:
Количество способов выбрать 3 нестандартные детали из 9: C(9,3) = 84
Количество всех возможных вариантов выбора 3 деталей из 13: C(13,3) = 286
Вероятность выбрать 0 стандартных деталей: P(X=0) = 84/286

2. Найдем вероятность выбрать 1 стандартную деталь:
Количество способов выбрать 1 стандартную деталь из 4 (так как всего 13 деталей, а 3 уже выбраны): C(4,1) = 4
Количество способов выбрать 2 нестандартные детали из 9: C(9,2) = 36
Вероятность выбрать 1 стандартную деталь: P(X=1) = (4 * 36)/286

3. Найдем вероятность выбрать 2 стандартные детали:
Количество способов выбрать 2 стандартные детали из 4: C(4,2) = 6
Количество способов выбрать 1 нестандартную деталь из 9: C(9,1) = 9
Вероятность выбрать 2 стандартные детали: P(X=2) = (6 * 9)/286

4. Вероятность выбрать 3 стандартные детали:
Количество способов выбрать 3 стандартные детали из 4: C(4,3) = 4
Вероятность выбрать 3 стандартные детали: P(X=3) = 4/286

Теперь, найдем математическое ожидание и дисперсию.

Математическое ожидание (Expected Value) можно найти, умножив каждое возможное значение дискретной случайной величины на соответствующую вероятность и сложив все полученные произведения.

Математическое ожидание (M) = (0 * P(X=0)) + (1 * P(X=1)) + (2 * P(X=2)) + (3 * P(X=3))

Дисперсия (Variance) - это мера разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Для расчета дисперсии, нам потребуется также найти квадраты разности каждого значения случайной величины и математического ожидания, умножить их на соответствующие вероятности, сложить все полученные произведения.

Дисперсия (V) = [(0 - M)^2 * P(X=0)] + [(1 - M)^2 * P(X=1)] + [(2 - M)^2 * P(X=2)] + [(3 - M)^2 * P(X=3)]

Теперь, осталось только подставить значения вероятностей и вычислить.

P(X=0) = 84/286
P(X=1) = (4 * 36)/286
P(X=2) = (6 * 9)/286
P(X=3) = 4/286

M = (0 * P(X=0)) + (1 * P(X=1)) + (2 * P(X=2)) + (3 * P(X=3))
V = [(0 - M)^2 * P(X=0)] + [(1 - M)^2 * P(X=1)] + [(2 - M)^2 * P(X=2)] + [(3 - M)^2 * P(X=3)]

Вычислите эти значения и получите конечный ответ.