Question

Задание № 1
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и методом Крамера:
-1x, + 2x, =-1,
3.x + 2.x, - 2x, = -4, 5х, - 2.x, +4x, = -1.
Задание № 2
Решить систему линейных уравнений:
-2x, + 2x, - = 0, x, -3x, +x, -4x, =-5, 2x, - 5x, + 3x, - 5x,

Answer 1

Задание №1:
Для решения данной системы линейных уравнений мы можем использовать метод Гаусса и метод Крамера.

Метод Гаусса:
1. Запишем расширенную матрицу системы уравнений:
| -1 +2 | -1 |
| 3 2 -2 | -4 |
| 5 -2 +4 | -1 |

2. Произведем элементарные преобразования над матрицей, чтобы привести ее к диагональному виду (выполним прямой ход):
- Поменяем местами 1-ую и 3-ю строки:
| 5 -2 +4 | -1 |
| 3 2 -2 | -4 |
| -1 +2 | -1 |

- Умножим первую строку на 1/5:
| 1 -2/5 +4/5 | -1/5 |
| 3 2 -2 | -4 |
| -1 +2 -1 | 0 |

- Вычтем из второй строки первую строку, умноженную на 3:
| 1 -2/5 +4/5 | -1/5 |
| 0 16/5 -14/5 | -7/5 |
| -1 +2 -1 | 0 |

- Вычтем из третьей строки первую строку:
| 1 -2/5 +4/5 | -1/5 |
| 0 16/5 -14/5 | -7/5 |
| 0 8/5 -9/5 | 1/5 |

- Умножим вторую строку на 5/16:
| 1 -2/5 +4/5 | -1/5 |
| 0 1 -7/8 | -7/8 |
| 0 8/5 -9/5 | 1/5 |

- Вычтем из третьей строки вторую строку, умноженную на (8/5):
| 1 -2/5 +4/5 | -1/5 |
| 0 1 -7/8 | -7/8 |
| 0 0 -17/8| 15/8 |

3. Теперь, применим обратный ход метода Гаусса:
- Разделим третью строку на (-17/8):
| 1 -2/5 +4/5 | -1/5 |
| 0 1 -7/8 | -7/8 |
| 0 0 1 | -15/17 |

- Вычтем из второй строки третью строку, умноженную на (-7/8):
| 1 -2/5 +4/5 | -1/5 |
| 0 1 0 | -56/17 |
| 0 0 1 | -15/17 |

- Вычтем из первой строки третью строку, умноженную на (-4/5):
| 1 -2/5 0 | 1/5 |
| 0 1 0 | -56/17 |
| 0 0 1 | -15/17 |

- Вычтем из первой строки вторую строку, умноженную на (-2/5):
| 1 0 0 | 113/85 |
| 0 1 0 | -56/17 |
| 0 0 1 | -15/17 |

4. Получили матрицу вида |x| = |113/85|
|y| |-56/17|
|z| |-15/17|

Таким образом, решение системы линейных уравнений методом Гаусса: x = 113/85, y = -56/17, z = -15/17.

Метод Крамера:
1. Для начала, найдем определитель матрицы системы уравнений:
D = | -1 +2 |
| 3 2 -2 |
| 5 -2 +4 |

Вычислим его по формуле:
D = (-1)*(2*4 - (-2)*(-2)) + 2*(3*4 - (-2)*5) - (-1)*(3*(-2) - 2*5)
= -8 + 38 + 16
= 46

Определитель D не равен нулю, значит метод Крамера применим.

2. Теперь, найдем определители матрицы системы уравнений, заменяя столбцы соответствующими правыми частями:
Dx = | -1 +2 |
| -4 2 -2 |
| -1 -2 +4 |

Dy = | -1 -1 |
| 3 -4 -2 |
| 5 5 +4 |

Dz = | -1 +2 |
| 3 2 -4 |
| 5 -2 5 |

Теперь, вычислим определители Dx, Dy, Dz по аналогичной формуле:
Dx = (-1)*(2*(-2) - (-2)*(-4)) + 2*(-4*4 - (-2)*(-1)) - (-1)*((-4)*(-1) - 2*(-1)*(-4))
= -8 + 28 + 6
= 26

Dy = (-1)*(-4*(-2) - (-2)*3) + (-1)*(3*(-2) - (-4)*5) - 5*(3*(-4) - (-4)*(-2))
= 26 - 22 - 40
= -36

Dz = (-1)*(2*5 - (-2)*(-2)) + 2*(3*(-2) - 5*5) - (-1)*(3*(-2) - (-2)*5)
= -8 + 26 + 13
= 31

3. Найдем значения переменных x, y, z, используя формулы Крамера:
x = Dx / D = 26 / 46 = 13 / 23 = 0.5652
y = Dy / D = (-36) / 46 = -18 / 23 ≈ -0.7826
z = Dz / D = 31 / 46 ≈ 0.6739

Таким образом, решение системы линейных уравнений методом Крамера: x ≈ 0.5652, y ≈ -0.7826, z ≈ 0.6739.

Задание №2:
Для решения данной системы линейных уравнений, мы воспользуемся методом Гаусса.

1. Запишем расширенную матрицу системы уравнений:
| -2 +2 0 | 0 |
| 1 -3 +1 | -4 |
| 2 -5 +3 | -5 |

2. Произведем элементарные преобразования, чтобы привести матрицу к диагональному виду (выполним прямой ход):
- Поменяем местами 1-ую и 2-ую строки:
| 1 -3 +1 | -4 |
| -2 +2 0 | 0 |
| 2 -5 +3 | -5 |

- Вычтем из 3-ей строки 1-ую строку, умноженную на 2:
| 1 -3 +1 | -4 |
| -2 +2 0 | 0 |
| 0 -1 +1 | -3 |

- Вычтем из 1-ой строки 3-ю строку:
| 1 -2 0 | 1 |
| -2 +2 0 | 0 |
| 0 -1 +1 | -3 |

- Умножим 1-ую строку на 1/2:
| 1/2 -1 0 | 1/2 |
| -2 +2 0 | 0 |
| 0 -1 +1 | -3 |

- Вычтем из 2-ой строки 3-ю строку, умноженную на (1/2):
| 1/2 -1 0 | 1/2 |
| -2 +2 +1/2 | 3/2 |
| 0 -1 +1 | -3 |

- Умножим 2-ую строку на (-2):
| 1/2 -1 0 | 1/2 |
| 4 -4 -1 | -3 |
| 0 -1 +1 | -3 |

- Вычтем из 1-ой строки 2-ую строку, умноженную на (1/2):
| -1 +0 +1/2 | -2 |
| 4 -4 -1 | -3 |
| 0 -1 +1 | -3 |

- Поменяем местами 2-ую и 3-ую строки:
| -1 +0 +1/2 | -2 |
| 0 -1 +1 | -3 |
| 4 -4 -1 | -3 |

3. Применим обратный ход метода Гаусса:
- Умножим 3-ю строку на (-1/4):
| -1 +0 +1/2 | -2 |
| 0 -1 +1 | -3 |
| -1 +1 +1/4 | +3/4 |

- Вычтем из 2-ой строки 3-ую строку, умноженную на (1):
| -1 +0 +1/2 | -2 |
| 0 -1 +3/4 | -15/4 |
| -1 +1 +1/4 | +3/4 |

- Вычтем из 1-ой строки 3-ую строку, умноженную на (-1/2):
| 0 +1 -1/4 | -2 |
| 0 -1 +3/4 | -15/4 |
| -1 +1 +1/4 | +3/4 |

- Вычтем из 2-ой строки 1-ую строку, умноженную на (-1):
| 0 +1 -1/4 | -2 |
| 0 +0 +7/4 | -7/4 |
| -1 +1 +1/4 | +3/4 |

- Поменяем знак 1-ой строки:
| 0 -1 +1/4 | +2 |
| 0 +0 +7/4 | -7/4 |
| -1 +1 +1/4 | +3/4 |

- Умножим 3-ю строку на (-1/4):
| 0 -1 +1/4 | +2 |
| 0 +0 +7/4 | -7/4 |
| 1 -1 -1/4 | -3/4 |

- Вычтем из 2-ой строки 3-ую строку, умноженную на (-7/4):
| 0 -1 +1/4 | +2 |
| 0 +0 +0 | 0 |
| 1 -1 -1/4 | -3/4 |

- Поменяем местами 1-ую и 3-ю строки:
| 1 -1 -1/4 | -3/4 |
| 0 +0 +0 | 0 |
| 0 -1 +1/4 | +2 |

4. Получили матрицу вида |x| = |-3/4|
|y| |0 |
|z| |+2 |

Таким образом, решение системы линейных уравнений методом Гаусса: x = -3/4, y = 0, z = 2.