Question

И распишите по подробнее, если возможно.

В тетраэдре ABCD DM - медиана грани BCD и Q - центр масс этой грани. Найдите координаты векторов DM и AQ в базисе AB, AC, AD.

Answer 1

Добрый день! Рассмотрим тетраэдр ABCD (в изображении задачи). Мы должны найти координаты векторов DM и AQ в базисе AB, AC, AD.

1. Начнем с вектора DM. Чтобы найти вектор DM, нам необходимо найти среднюю точку (то есть середину) отрезка BC. Обозначим эту середину как точку N. Вектор DM сможем получить, находя разность векторов DN и BM:
DM = DN - BM

2. Вектор DN. Чтобы найти вектор DN, достаточно найти среднюю точку отрезка BC. В данном случае мы видим, что точка M находится на одной трети пути от вершины B к середине отрезка BC. Значит, вектор DN можно получить, умножив вектор BC на 2/3. Обозначим вектор BC как вектор u и вычислим вектор DN:
DN = 2/3 * u

3. Вектор BM. Чтобы найти вектор BM, достаточно найти разность векторов BC и CM. Обозначим вектор CM как вектор v и вычислим вектор BM:
BM = BC - CM

4. Вектор AQ. Чтобы найти вектор AQ, нам нужно найти центр масс грани BCD. Поскольку вектор AQ проходит через центр масс и вершину A, мы можем выразить вектор AQ как разность векторов AC и CQ:
AQ = AC - CQ

5. Найдем вектор CQ. Для этого нам нужно найти центр масс грани BCD, который обозначен как Q. Мы знаем, что вектор QC равен половине вектора CQ. Вектор QM - медиана грани BCD (это вектор DM, поскольку DM является медианой грани BCD). Мы можем использовать это знание для нахождения вектора QM следующим образом:
QM = DM
QM = 2/3 * u - v
QM = 2/3 * u - 1/3 * v

Используя то, что вектор QM равен половине вектора CQ, мы можем найти вектор CQ:
CQ = 2 * QM
CQ = 4/3 * u - 2/3 * v

6. Итак, мы нашли вектор AQ вычитанием вектора CQ из вектора AC:
AQ = AC - CQ
= AC - (4/3 * u - 2/3 * v)
= AC - 4/3 * u + 2/3 * v

Таким образом, координаты векторов DM и AQ в базисе AB, AC, AD равны:
DM = 2/3 * u - v
AQ = AC - 4/3 * u + 2/3 * v

Надеюсь, что объяснение было понятным и подробным! Если остались еще вопросы, не стесняйтесь задавать.