Рациональное число – число, представляемое обыкновенной дробью m/n, где числитель m – целое число, а знаменатель n – натуральное число. Любое рациональное число представимо в виде периодической бесконечной десятичной дроби. Множество рациональных чисел обозначается Q. Если действительное число не является рациональным, то оно иррациональное число. Десятичные дроби, выражающие иррациональные числа бесконечны и не периодичны. Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой I. Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена (ненулевой степени) с рациональными коэффициентами. Любое неалгебраическое число называется трансцендентным. Некоторые свойства: Множество рациональных чисел располагается на числовой оси всюду плотно: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел Q и множество натуральных чисел N эквивалентны, то есть между ними можно установить взаимно однозначное соответствие (все элементы множества рациональных чисел можно перенумеровать). Множество Q рациональных чисел является замкнутым относительно сложения, вычитания, умножения и деления, то есть сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел также являются рациональными числами. Все рациональные числа являются алгебраическими (обратное утверждение – неверное). Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным. Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным. Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число (а значит, и бесконечное множество иррациональных чисел). Множество иррациональных чисел несчётно. При решении задач бывает удобно вместе с иррациональным числом a + b√c (где a, b – рациональные числа, с – целое, не являющееся квадратом натурального числа) рассмотреть «сопряжённое» с ним число a – b√c: его сумма и произведение с исходным – рациональные числа. Так что a + b√c и a – b√c являются корнями квадратного уравнения с целыми коэффициентами
Х - время работы 1-го мастера х + 15 - время работы 2-го мастера 1/х - производительность 1-го мастера 1/(х + 15) - производительность 2-го мастера 10 · 1/х = 10/х - часть работы. выполненная 1-м мастером 30 · 1/(х + 15) - часть работы, выполненная 2-м мастером Вся работа это единица - 1 Уравнение: 10/х + 30/(х + 15) = 1 10х + 150 + 30х = х² + 15х х² - 25х - 150 = 0 D = 625 + 600 = 1225 √D = 35 х1 = 0,5( 25 - 35) < 0 не подходит х2 = 0,5(25 + 35) = 30 Итак, 1-й мастер может выполнить работу за 30дней 2-й мастер за 30 + 15 = 45дней Складываем их производительности 1/30 + 1/45 = 5/90 = 1/18 находим время совместной работы мастеров: 1 : 1/18 = 18(дней) ответ: 18 дней
Если действительное число не является рациональным, то оно иррациональное число. Десятичные дроби, выражающие иррациональные числа бесконечны и не периодичны. Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой I.
Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена (ненулевой степени) с рациональными коэффициентами. Любое неалгебраическое число называется трансцендентным.
Некоторые свойства:
Множество рациональных чисел располагается на числовой оси всюду плотно: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел Q и множество натуральных чисел N эквивалентны, то есть между ними можно установить взаимно однозначное соответствие (все элементы множества рациональных чисел можно перенумеровать).
Множество Q рациональных чисел является замкнутым относительно сложения, вычитания, умножения и деления, то есть сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел также являются рациональными числами.
Все рациональные числа являются алгебраическими (обратное утверждение – неверное).
Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число (а значит, и бесконечное множество иррациональных чисел).
Множество иррациональных чисел несчётно.
При решении задач бывает удобно вместе с иррациональным числом a + b√c (где a, b – рациональные числа, с – целое, не являющееся квадратом натурального числа) рассмотреть «сопряжённое» с ним число a – b√c: его сумма и произведение с исходным – рациональные числа. Так что a + b√c и a – b√c являются корнями квадратного уравнения с целыми коэффициентами