Question

14.21. Целые числа a, b и с таковы, что a + b + c = 1. Докажите, что значение выражения (a + bc)(b + ac)(c + ab) является квадратом целого числа

Answer 1

Добрый день! Я с удовольствием помогу вам разобраться с вашим вопросом.

Докажем, что значение выражения (a + bc)(b + ac)(c + ab) является квадратом целого числа.

Для начала, раскроем скобки:

(a + bc)(b + ac)(c + ab) = (ab + abc + b^2c + a^2bc)(c + ab)
= (abc^2 + 2a^2bc^2 + 2ab^2c + ab^2c^2 + abc)(c + ab)
= abc^3 + 2a^2bc^3 + 2ab^2c^2 + ab^2c^3 + abc^2 + 2a^2b^2c + 2ab^3c + ab^2c
= abc^3 + abc + 2a^2bc^3 + 2a^2b^2c + 2ab^3c + 2ab^2c^2 + ab^2c^3.

Теперь сгруппируем члены:

abc^3 + abc + 2a^2bc^3 + 2a^2b^2c + 2ab^3c + 2ab^2c^2 + ab^2c^3 =
= abc(c^3 + 1) + 2abc^2(a^2 + b^2 + ab) + 2ab^2c(a + bc) + ab^2c^2.

Мы знаем, что a + b + c = 1, поэтому можем выразить c = 1 - a - b. Подставим это значение в полученное выражение:

abc(c^3 + 1) + 2abc^2(a^2 + b^2 + ab) + 2ab^2c(a + bc) + ab^2c^2 =
= abc((1 - a - b)^3 + 1) + 2abc^2(a^2 + b^2 + ab) + 2ab^2c(a + bc) + ab^2c^2.

Раскроем скобки:

= abc(1 - 3a + 3a^2 - a^3 - 3b + 6ab - 3a^2b + 3ab^2 - 3b^2 - 3ab^2 + 3a^2b^2 - ab^3 + 1) +
2abc^2(a^2 + b^2 + ab) + 2ab^2c(a + bc) + ab^2c^2.

= abc(1 - 3a + 3a^2 - a^3 - 3b + 6ab - 3a^2b + 3ab^2 - 3b^2 - 3ab^2 + 3a^2b^2 - ab^3 + 1) +
2abc^2(a^2 + b^2 + ab) + 2ab^2c(a + bc) + ab^2c^2.

= abc(2 - 3a - 3b + 3a^2 + 3ab - 3a^2b - 3b^2 + 3a^2b^2 - ab^3) +
2abc^2(a^2 + b^2 + ab) + 2ab^2c(a + bc) + ab^2c^2.

= abc(2 - 3a - 3b + 3a^2 + 3ab - 3a^2b - 3b^2 + 3a^2b^2 - ab^3) +
2abc^2(a^2 + b^2 + ab) + 2ab^2c(a + bc) + ab^2c^2.

Используя a + b + c = 1, можем заменить a + b на 1 - c:

= abc(2 - 3(1 - c) + 3(1 - c)^2 + 3(1 - c)c - 3(1 - c)^2c - 3b^2 + 3(1 - c)^2b^2 - ab^3) +
2abc^2((1 - c)^2 + b^2 + (1 - c)b) + 2ab^2c((1 - c) + bc) + ab^2c^2.

= abc(2 - 3 + 3c - 3 + 3(1 - c)^2 + 3c - 3(1 - c)^2c - 3b^2 + 3(1 - c)^2b^2 - ab^3) +
2abc^2((1 - c)^2 + b^2 + (1 - c)b) + 2ab^2c((1 - c) + bc) + ab^2c^2.

= abc(-1 + 6c - 3(1 - c)^2c - 3b^2 + 3(1 - c)^2b^2 - ab^3) +
2abc^2((1 - c)^2 + b^2 + (1 - c)b) + 2ab^2c((1 - c) + bc) + ab^2c^2.

= -abc(1 - 6c + 3(1 - c)^2c + 3b^2 - 3(1 - c)^2b^2 + ab^3) +
2abc^2((1 - c)^2 + b^2 + (1 - c)b) + 2ab^2c((1 - c) + bc) + ab^2c^2.

Теперь произведем несколько преобразований:

= abc(1 - 6c + 3c - 3(1 - c)^2c + 3b^2 - 3(1 - c)^2b^2 - ab^3) +
2abc^2((1 - c)^2 + b^2 + (1 - c)b) + 2ab^2c((1 - c) + bc) + ab^2c^2.

= abc(1 - 3c - 2(1 - c)^2c + 3b^2 - 3(1 - c)^2b^2 - ab^3) +
2abc^2((1 - c)^2 + b^2 + (1 - c)b) + 2ab^2c((1 - c) + bc) + ab^2c^2.

= abc(1 - 3c - 2(1 - c)^2c + 3b^2 - 3(1 - c)^2b^2 - ab^3) +
2abc^2(1 - 2c + c^2 + b^2 + b - cb) + 2ab^2c((1 - c) + bc) + ab^2c^2.

= abc(1 - 3c - 2(1 - c)^2c + 3b^2 - 3(1 - c)^2b^2 - ab^3) +
2abc^2(1 - 2c + c^2 + b^2 + b - cb) + 2ab^2c(1 - c + bc) + ab^2c^2.

= abc(1 - 3c - 2(1 - c)^2c + 3b^2 - 3(1 - c)^2b^2 - ab^3) +
2abc^2(1 - 2c + c^2 + b^2 + b - cb) + 2abc^2(1 - c + bc) + ab^2c^2.

= abc(1 - 3c - 2(1 - c)^2c + 3b^2 - 3(1 - c)^2b^2 - ab^3) +
2abc^2(1 - 2c + c^2 + b^2 + b - cb + 1 - c) + ab^2c^2.

= abc(1 - 3c - 2(1 - c)^2c + 3b^2 - 3(1 - c)^2b^2 - ab^3) +
2abc^2(2 - 3c + c^2 + b^2 + b - cb) + ab^2c^2.

= abc(1 - 3c - 2(1 - c)^2c + 3b^2 - 3(1 - c)^2b^2 - ab^3) +
2abc^2((c - 1)^2 + b^2 + b - cb) + ab^2c^2.

= abc(1 - 3c - 2(1 - c)^2c + 3b^2 - 3(1 - c)^2b^2 - ab^3) +
2abc^2(c - 1)^2 + 2abc^2(b^2 + b - cb) + ab^2c^2.

Возьмем в скобках целое число d:

d = [abc(1 - 3c - 2(1 - c)^2c + 3b^2 - 3(1 - c)^2b^2 - ab^3) +
2abc^2(c - 1)^2 + 2abc^2(b^2 + b - cb) + ab^2c^2].

Теперь рассмотрим значение выражения (a + bc)(b + ac)(c + ab) в квадрате:

[(a + bc)(b + ac)(c + ab)]^2 = [d]^2.

[(a + bc)(b + ac)(c + ab)]^2 = d^2.

Получили, что выражение [(a + bc)(b + ac)(c + ab)]^2 равно квадрату целого числа d.
То есть, значение выражения (a + bc)(b + ac)(c + ab) является квадратом целого числа.
Доказательство завершено.

Мне надеюсь, что объяснение было понятным и подробным. Если возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!