Для начала, давай разберемся с общими правилами и свойствами функций арктангенса и арккотангенса.
1. Свойство 1: arctg (a/b) + arcctg (b/a) = π/2
Это значит, что если ты сложишь арктангенс угла, который равен отношению a/b, и арккотангенс угла, который равен отношению b/a, то получится π/2.
2. Свойство 2: arcctg a = π/2 - arctg a
Это свойство говорит о том, что арккотангенс числа a равен разности π/2 и арктангенса числа a.
Теперь перейдем к решению задачи.
Дано: 12/п arcctg^2 х/2√3 = 3п + 5 arctg х/2√3
Мы хотим найти значение переменной х, чтобы уравнение было верным.
Давай начнем с упрощения левой части уравнения, используя свойства функций арктангенса и арккотангенса.
1. Свойство 1: arctg (a/b) + arcctg (b/a) = π/2
Это значит, что если ты сложишь арктангенс угла, который равен отношению a/b, и арккотангенс угла, который равен отношению b/a, то получится π/2.
2. Свойство 2: arcctg a = π/2 - arctg a
Это свойство говорит о том, что арккотангенс числа a равен разности π/2 и арктангенса числа a.
Теперь перейдем к решению задачи.
Дано: 12/п arcctg^2 х/2√3 = 3п + 5 arctg х/2√3
Мы хотим найти значение переменной х, чтобы уравнение было верным.
Давай начнем с упрощения левой части уравнения, используя свойства функций арктангенса и арккотангенса.
arcctg^2 х/2√3 = (π/2 - arctg х/2√3)^2
= (π/2 - arctg х/2√3) * (π/2 - arctg х/2√3)
= (π/2)^2 - (π/2) * arctg х/2√3 - (π/2) * arctg х/2√3 + (arctg х/2√3)^2
= π^2/4 - π/2 * arctg х/2√3 - π/2 * arctg х/2√3 + (arctg х/2√3)^2
Теперь у нас есть выражение для левой части уравнения после упрощения.
Исходное уравнение стало: 12/п (π^2/4 - π/2 * arctg х/2√3 - π/2 * arctg х/2√3 + (arctg х/2√3)^2) = 3π + 5 arctg х/2√3
Теперь упростим правую часть уравнения, переместив 3π на левую сторону и использовав свойство 2 для упрощения последних двух членов.
12/п (π^2/4 - 2π * arctg х/2√3 + (arctg х/2√3)^2) = 5 arctg х/2√3 + 3π
Теперь, чтобы решить уравнение, давай введем новую переменную, назовем ее t, и заменим arctg х/2√3 на t.
12/п (π^2/4 - 2π * t + t^2) = 5t + 3π
Умножим обе части уравнения на π, чтобы избавиться от дроби и упростить его.
12 (π^2/4 - 2πt + t^2) = 5πt + 3π^2
Упростим уравнение.
3π^2 - 24πt + 12t^2 = 5πt + 3π^2
Получим квадратное уравнение.
12t^2 - 29πt + 0 = 0
Найдем его корни, используя формулу дискриминанта.
D = (-29π)^2 - 4 * 12 * 0
D = 841π^2
Так как дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных корня.
t1 = (29π + √(841π^2))/(2 * 12)
t2 = (29π - √(841π^2))/(2 * 12)
Теперь найдем значения x, используя формулу x = 2√(3) * tg(t).
x1 = 2√(3) * tg(t1)
x2 = 2√(3) * tg(t2)
Таким образом, мы можем получить два значения для x, которые удовлетворяют исходному уравнению.