Question

Найти уравнение кривой, проходящей через данную точку А (2; 1), если угловой коэффициент касательной к кривой в каждой ее точке в четыре
раза больше ее абсциссы.

Answer 1

Чтобы найти уравнение кривой, проходящей через данную точку А (2; 1), при условии, что угловой коэффициент касательной к кривой в каждой ее точке в четыре раза больше ее абсциссы, выполним следующие действия:

1. Пусть уравнение искомой кривой имеет вид y = f(x), где f(x) - некоторая функция.

2. Так как касательная к кривой имеет угловой коэффициент в четыре раза больше абсциссы каждой точки, то можно записать следующее соотношение:
f'(x) = 4x,

где f'(x) - производная функции f(x) по переменной x.

3. Чтобы найти функцию f(x), найдем ее первообразную (интеграл) от обеих частей уравнения по переменной x:
∫f'(x) dx = 4 * ∫x dx,

где ∫f'(x) dx - интеграл функции f'(x) по переменной x.

4. Интегрируя обе части уравнения, получим:
f(x) = 2x^2 + C,

где C - произвольная постоянная.

5. Для определения значения постоянной C воспользуемся условием, что кривая должна проходить через точку A(2, 1):
1 = 2*2^2 + C,
1 = 8 + C,
C = -7.

6. Таким образом, уравнение кривой, проходящей через данную точку A(2, 1) и у которой угловой коэффициент касательной в каждой точке в четыре раза больше абсциссы, имеет вид:
y = 2x^2 - 7.