Исследовать функцию f (x) = 4x³–6x² и построить ее график.
1. Область определения функции - вся числовая ось.
2. Функция f (x) = 4x³–6x² непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.
3. Четность, нечетность, периодичность:
График четной функции симметричен относительно оси ОУ, а нечетной — относительно начала координат О.
f(–x) = 4(–x)³–6(–x)² = –(4x³+6x²) ≠ –f(x),
f(–x) = 4(–x)³3–6(–x)² = –(4x³+6x²) ≠ –f(x)
Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.
4. Точки пересечения с осями координат:
Ox: y=0, 4x³–6x²=0, 2x²(2x–3)=0 ⇒ x=0, x=3/2. Значит (0;3/2), - точки пересечения с осью Ox.
Oy: x = 0 ⇒ y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:
y'=0 ⇒ 12x²–12x =0 ⇒ 12x(x–1) = 0 ⇒ x = 0, x = 1 - критические точки.
Если производная положительна - функция возрастает, если производная отрицательна - функция убывает:
отрезок -∞ < x < 0 функция возрастает,
отрезок 0 < x < 3/2 функция убывает,
отрезок 3/2 < X < ∞ функция возрастает.
7*. Вычисление второй производной: у =4x³–6x²,
f '(x) = 12x² - 12x. f ''(x) = 24x - 12.
y''=0, 24x–12= 0, x = 12/24 = 1/2.
8*. Промежутки выпуклости и точки перегиба:
отрезок -∞ < x < 1/2 график функции выпуклый вверх,
точка перегиба х = 1/2,
отрезок 1/2< x < ∞ график функции выпуклый вниз.
9. Найдем значение функции в дополнительной точке: f(1/2) = 4*(1/2)³– 6(1/2)² = 4/8 -6/4 = (4-12) / 8 = -8/8 = –1.
10. Искомый график функции в приложении
Was ich will? Ich will dich ganz viel küssen! Oft! Und überall. Ich möchte in den richtigen Momenten süß gefunden werden. Ich will Wasserschlachten beim Zähneputzen machen, nachts auf den Spielplatz gehen, zusammen kochen. Ich möchte solange gekitzelt werden, bis ich keine Luft mehr bekomme und beim Frühstück unterm Tisch füßeln. Ich will dich beschützen. Ich möchte weinen vor Glück, und es soll mir im Bauch kribbeln wenn es an der Tür klingelt und du es ist. Ich will, dass ich mich ohne dich irgendwie nicht vollständig fühle. Ich möchte verregnete Sonntage mit dir im Bett verbringen, im Regen spazieren gehen und dein regenasses Gesicht küssen. Ich will mit dir die Sterne betrachten. Es soll sich richtig schön anfühlen neben dir aufzuwachen und neben dir einzuschlafen. Ich will in deine Augen sehen und mich zu Hause fühlen. Du sollst der Mensch sein, von dem ich mir wünsche, dass er meine Hand hält, wenn ich sterbe. Ich möchte dämlich grinsen müssen, weil es du in meinem Leben gibt. Ich möchte deine fehlende Hälfte sein und ich möchte dir vertrauen. Ich möchte dir vom Einkaufen deine Lieblingssachen mitbringen und Sommertage in deinen Armen auf einer Wiese verschlafen. Wenn ich 80 bin, will ich in meinem Schaukelstuhl sitzen und unseren Enkeln erzählen, wie es war, als wir uns das erste Mal geküsst haben... Das wars, mehr will ich gar nicht!
Komm bald zu mir, mein Leben! Ich liebe dich!