1) Найти области определения и значений данной функции f.
Для аргумента и функции нет ограничений: их значения - вся числовая ось.
2) Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f: а) четной или нечетной:
f(-x)=(-x)³−1 = -x³−1 = -(x³+1). Значит, функция не чётная и не нечётная.
б) не периодическая.
3) Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат:
- пересечение с осью Оу (х = 0), у = -1.
- пересечение с осью Ох (у = 0), x³−1 = 0, x³ = 1, x = ∛1 = 1.
4) Найти промежутки знакопостоянства функции f.
На основе нулей функции имеем:
- функция отрицательна при х < 1 (x ∈ (-∞; 1),
- функция положительна при х > 1 (x ∈ (1; +∞).
5) на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.
Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точка.
Находим производную функции и приравниваем нулю.
y' = 3x² = 0, x = 0 это критическая точка. Находим знаки производной левее и правее этой точки. Так как переменная в квадрате, то знак её положителен. Значит, функция на всей области определения возрастает.
Поэтому не имеет ни минимума, ни максимума.
6) Вторая производная y'' = 6x. Поэтому в точке х = 0 функция имеет перегиб. При x < 0 график функции выпуклый, при x > 0 вогнутый.
7) Асимптот функция не имеет.
Прямая, проходящая через точку M1(x1; y1) и перпендикулярная прямой y=ax+b, представляется уравнением
y–y1=-1/a(x-x1) (1)
Альтернативная формула
Прямая, проходящая через точку M1(x1; y1) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0, представляется уравнением
A(y-y1)-B(x-x1)=0 (2)
Пошаговое объяснение:ПРИМЕР №1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; -1) и перпендикулярной 4x-9y=3.
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 4/9x – 1/3 (a = 4/9). Уравнение искомой прямой есть y+1 = -9/4(x-2), т.е. 9x+4y-14=0.
ПРИМЕР №2. Решая пример 1 (A=4, B=-9) по формуле (2), найдем 4(y+1)+9(x-2)=0, т.е. 9x+4y-14=0.
ПРИМЕР №3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3, -2) перпендикулярно прямой 2y+1=0.
Решение. Здесь A=0, B=2. Формула (2) дает -2(x+3)=0, т.е. x+3=0. Формула (1) неприменима, так как a=0.