Question

Из колоды карт в 36 карт вынимают 4 карты. Найти число наборов таких, что: 1- среди этих карт нет ни одного туза; 2 - ровно одна карта треф Решить задачу для схемы выбора (неупорядоченной): а) с возвращением, б) без возвращения.

Answer 1

Хорошо, давайте решим задачу пошагово.

Для начала, определим число элементов в колоде карт. В данном случае у нас есть 36 карт.

1. Решение задачи с возвращением:

а) Чтобы найти число наборов таких, что среди них нет ни одного туза, нам нужно знать количество карт без тузов. В колоде карт в 36 карт тузов всего 4, поэтому карт без тузов будет 36 - 4 = 32.

Таким образом, мы можем выбрать 4 карты из 32 карт без тузов с возвращением. Для этого используем комбинаторную формулу сочетаний с возвращением:

C(n + k - 1, k) = C(32 + 4 - 1, 4) = C(35, 4) = (35! / (4! * (35-4)!),

где n - количество элементов без учета тузов, k - количество выбираемых элементов.

Вычислим это:

C(35, 4) = (35! / (4! * (35-4)!) = (35! / (4! * 31!) = (35*34*33*32! / (4*3*2*1)) = 35*34*33/4*3*2*1 = 5984.

Таким образом, число наборов 4 карт без тузов из колоды в 36 карт с возвращением равно 5984.

б) Чтобы найти число наборов таких, что среди них нет ни одного туза, мы уже знаем, что количество карт без тузов равно 32.

Теперь, чтобы найти число наборов с одной картой треф, мы должны учесть, что из 32 карт без тузов одна карта должна быть трефом. Трефовых карт в колоде 9 (способов выбрать одну карту треф из 9 карт в колоде).

Таким образом, мы можем выбрать 1 карту треф и 3 карты без тузов с возвращением. Для этого используем комбинаторную формулу сочетаний с возвращением:

C(n + k - 1, k) = C(32 + 1 - 1, 1) * C(32 + 3 - 1, 3) = C(32, 1) * C(34, 3),

где n - количество элементов без учета трефов, k - количество выбираемых элементов.

Вычислим это:

C(32, 1) = (32! / (1! * (32-1)!)) = 32,

C(34, 3) = (34! / (3! * (34-3)!)) = (34*33*32*31! / (3*2*1*31!)) = 34*33*32/3*2*1 = 34624.

Таким образом, число наборов 4 карт без тузов с одной картой трефа из колоды в 36 карт с возвращением равно 32 * 34624 = 1107968.

2. Решение задачи без возвращения:

а) Чтобы найти число наборов таких, что среди них нет ни одного туза, мы уже знаем, что количество карт без тузов равно 32.

Теперь мы должны выбрать 4 карты без тузов без возвращения. Для этого используем комбинаторную формулу сочетаний без возвращения:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) = C(32, 4) = (32! / (4! * (32-4)!)),

где n - количество элементов без учета тузов, k - количество выбираемых элементов.

Вычислим это:

C(32, 4) = (32! / (4! * (32-4)!)) = (32! / (4! * 28!)) = (32*31*30*29*28! / (4*3*2*1*28!)) = 32*31*30*29/4*3*2*1 = 35960.

Таким образом, число наборов 4 карт без тузов из колоды в 36 карт без возвращения равно 35960.

б) Чтобы найти число наборов таких, что среди них нет ни одного туза, мы уже знаем, что количество карт без тузов равно 32.

Теперь мы должны выбрать 1 карту трефа и 3 карты без тузов без возвращения. Для этого используем комбинаторную формулу сочетаний без возвращения:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) = C(32, 1) * C(31, 3),

где n - количество элементов без учета трефов, k - количество выбираемых элементов.

Вычислим это:

C(32, 1) = (32! / (1! * (32-1)!)) = 32,

C(31, 3) = (31! / (3! * (31-3)!)) = (31*30*29*28! / (3*2*1*28!)) = 31*30*29/3*2*1 = 44940.

Таким образом, число наборов 4 карт без тузов с одной картой трефа из колоды в 36 карт без возвращения равно 32 * 44940 = 1438080.

Надеюсь, это поможет вам понять решение задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!