Дано: точка A(−4;3) и прямая y = −1. Необходимо составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от заданной токи ( , ) A A A x y и прямой y = d . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить график кривой.
Для составления уравнения геометрического места точек, равноудаленных от точки A(-4,3) и прямой y = -1, нам необходимо найти точки, которые имеют одинаковое расстояние от каждого из этих объектов.
1. Найдем расстояние между точкой A и заданной прямой y = -1:
Для этого можем использовать формулу расстояния между точкой и прямой:
d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2),
где A, B, и C - коэффициенты уравнения прямой y = Ax + By + C.
В данном случае у нас задана прямая y = -1, поэтому уравнение примет вид: y + 1 = 0.
Тогда коэффициенты A, B и C будут соответственно: A = 0, B = 1, C = -1.
Подставим полученные значения в формулу расстояния:
d = |-4*0 + 3*1 - 1| / sqrt(0^2 + 1^2)
d = |3-1| / sqrt(0 + 1)
d = 2 / 1
d = 2
Получили, что расстояние между точкой A(-4,3) и прямой y = -1 равно 2.
2. Теперь найдем точки, которые находятся на расстоянии 2 от точки A(-4,3).
Для этого нам необходимо найти точки, которые лежат на перпендикулярных линиях, опущенных из точек A(-4,3) и B'(-4,1) (точка, которая находится на расстоянии 2 под прямой y = -1).
Опустим перпендикуляры из точек A и B' на прямую y = -1. Так как прямая y = -1 горизонтальна, перпендикуляры будут вертикальными линиями.
Перпендикуляр, опущенный из точки A(-4,3), будет иметь уравнение x = -4, так как он проходит через точку (-4,3).
Перпендикуляр, опущенный из точки B'(-4,1), будет также иметь уравнение x = -4, так как он проходит через точку (-4,1).
Теперь мы найдем точки, которые лежат на одинаковом расстоянии и от прямой x = -4, и от прямой y = -1.
Эти точки будут представлять собой искомое геометрическое место.
3. Составим уравнение геометрического места точек:
У нас есть две прямые:
- x = -4
- y = -1
Чтобы составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от этих прямых, необходимо составить их комбинацию с знаком ±.
Мы можем использовать следующее уравнение, чтобы выразить это комбинацию:
(x - (-4))^2 + (y - (-1))^2 = 2^2
(x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 4
Получили уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки A(-4,3) и прямой y = -1.
Получили уравнение геометрического места точек в простейшем виде: x^2 + y^2 + 8x + 2y - 13 = 0.
5. Построим график кривой:
Для построения графика данного уравнения мы можем использовать его свойство: это уравнение окружности.
Уравнение окружности имеет форму:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2,
где (h,k) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.
В нашем случае уравнение имеет вид:
x^2 + y^2 + 8x + 2y - 13 = 0.
Для перевода его в форму уравнения окружности, необходимо сделать следующую замену:
(x^2 + 8x) + (y^2 + 2y) = 13.
(x^2 + 8x + 16) + (y^2 + 2y + 1) = 13 + 16 + 1.
(x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 30.
Теперь мы получили уравнение окружности (x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 30, где координаты центра окружности C(-4,-1) и радиус окружности равен √30.
Построим график окружности:
Центр окружности находится в точке C(-4,-1). Из этой точки проведем линию, радиусом √30, чтобы построить окружность.
Таким образом, мы составили уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки A(-4,3) и прямой y = -1, и построили график этой кривой, который предстанет в виде окружности с центром в точке C(-4,-1) и радиусом √30.
1. Найдем расстояние между точкой A и заданной прямой y = -1:
Для этого можем использовать формулу расстояния между точкой и прямой:
d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2),
где A, B, и C - коэффициенты уравнения прямой y = Ax + By + C.
В данном случае у нас задана прямая y = -1, поэтому уравнение примет вид: y + 1 = 0.
Тогда коэффициенты A, B и C будут соответственно: A = 0, B = 1, C = -1.
Подставим полученные значения в формулу расстояния:
d = |-4*0 + 3*1 - 1| / sqrt(0^2 + 1^2)
d = |3-1| / sqrt(0 + 1)
d = 2 / 1
d = 2
Получили, что расстояние между точкой A(-4,3) и прямой y = -1 равно 2.
2. Теперь найдем точки, которые находятся на расстоянии 2 от точки A(-4,3).
Для этого нам необходимо найти точки, которые лежат на перпендикулярных линиях, опущенных из точек A(-4,3) и B'(-4,1) (точка, которая находится на расстоянии 2 под прямой y = -1).
Опустим перпендикуляры из точек A и B' на прямую y = -1. Так как прямая y = -1 горизонтальна, перпендикуляры будут вертикальными линиями.
Перпендикуляр, опущенный из точки A(-4,3), будет иметь уравнение x = -4, так как он проходит через точку (-4,3).
Перпендикуляр, опущенный из точки B'(-4,1), будет также иметь уравнение x = -4, так как он проходит через точку (-4,1).
Теперь мы найдем точки, которые лежат на одинаковом расстоянии и от прямой x = -4, и от прямой y = -1.
Эти точки будут представлять собой искомое геометрическое место.
3. Составим уравнение геометрического места точек:
У нас есть две прямые:
- x = -4
- y = -1
Чтобы составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от этих прямых, необходимо составить их комбинацию с знаком ±.
Мы можем использовать следующее уравнение, чтобы выразить это комбинацию:
(x - (-4))^2 + (y - (-1))^2 = 2^2
(x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 4
Получили уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки A(-4,3) и прямой y = -1.
4. Приведем уравнение к простейшему виду:
(x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 4
Раскроем скобки:
x^2 + 8x + 16 + y^2 + 2y + 1 = 4
Перенесем все в левую часть уравнения:
x^2 + y^2 + 8x + 2y - 13 = 0
Получили уравнение геометрического места точек в простейшем виде: x^2 + y^2 + 8x + 2y - 13 = 0.
5. Построим график кривой:
Для построения графика данного уравнения мы можем использовать его свойство: это уравнение окружности.
Уравнение окружности имеет форму:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2,
где (h,k) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.
В нашем случае уравнение имеет вид:
x^2 + y^2 + 8x + 2y - 13 = 0.
Для перевода его в форму уравнения окружности, необходимо сделать следующую замену:
(x^2 + 8x) + (y^2 + 2y) = 13.
(x^2 + 8x + 16) + (y^2 + 2y + 1) = 13 + 16 + 1.
(x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 30.
Теперь мы получили уравнение окружности (x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 30, где координаты центра окружности C(-4,-1) и радиус окружности равен √30.
Построим график окружности:
Центр окружности находится в точке C(-4,-1). Из этой точки проведем линию, радиусом √30, чтобы построить окружность.
Таким образом, мы составили уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки A(-4,3) и прямой y = -1, и построили график этой кривой, который предстанет в виде окружности с центром в точке C(-4,-1) и радиусом √30.