Question

Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку m =1 /2:вектору a=-3:-2

Answer 1

Существуют такие формы записи уравнения прямой в пространстве:

1) {A1x+B1y+C1z+D1=0(P1)A2x+B2y+C2z+D2=0(P2)− общее уравнение прямой L в пространстве, как линии пересечения двух плоскостей P1 и P2.

pryamayavprostr1

2) x−x0m=y−y0n=z−z0p−  каноническое уравнение прямой L, которая проходит через точку M(x0,y0,z0) параллельно вектору S⎯⎯⎯=(m,n,p). Вектор S⎯⎯⎯ является направляющим вектором прямой L.

pryamayavprostr2

3) x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1− уравнение прямой, которая проходит через две точки A(x1,y1,z1) и B(x2,y2,z2).

4) Приравнивая каждую из частей канонического уравнения 2 к прараметру t, получаем параметрическое уравнение прямой:

⎧⎩⎨⎪⎪x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt

Расположение двух прямых в пространстве.

Пусть L1: x−x1m1=y−y1n1=z−z1p1 S⎯⎯⎯1=(m1,n1,p1);

           L2: x−x2m2=y−y2n2=z−z2p2, S⎯⎯⎯2=(m2,n2,p2).

Условие параллельности двух прямых: Прямые L1 и L2 параллельны тогда и только тогда, когда S⎯⎯⎯1∥S⎯⎯⎯2⇔ m1m2=n1n2=p1p2.

Условие перпендикулярности двух прямых: L1⊥L2⇔ S⎯⎯⎯1⊥S⎯⎯⎯2⇔  m1⋅m2+n1⋅n2+p1⋅p2=0.

Угол между прямыми:

cos(L1,L2)ˆ= S⎯⎯⎯1⋅S⎯⎯⎯2|S⎯⎯⎯1|⋅|S⎯⎯⎯2|=m1⋅m2+n1⋅n2+p1⋅p2m21+n21+p21√⋅m22+n22+p22√.

 ugol2

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на данную прямую.

Пусть прямая L задана уравнением x−x0m=y−y0n=z−z0p, следовательно S⎯⎯⎯=(m,n,p).  Пусть также M2=(x2,y2,z2)− произвольная точка, принадлежащая прямой L. Тогда расстояние от точки M1=(x1,y1,z1) до прямой L можно найти по формуле:

d(M1,L)=|[M1M2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯,S⎯⎯⎯]||S⎯⎯⎯|.

dist

Примеры.

2.198. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M0(2,0,−3) параллельно:

а) вектору q(2,−3,5);

б) прямой x−15=y+22=z+1−1;

в) оси OX;

д) прямой {3x−y+2z−7=0,x+3y−2z−3=0;

е) прямой x=−2+t,y=2t,z=1−12t.

Решение.

а) Воспользуемся формулой (2) уравнения прямой в пространстве:

x−x0m=y−y0n=z−z0p−  каноническое уравнение прямой L, которая проходит через точку M(x0,y0,z0) параллельно вектору S⎯⎯⎯=(m,n,p).

По условию  M0(2,0,−3) и S⎯⎯⎯=q(2,−3,5).

Таким образом, x−22=y−0−3=z−(−3)5⇒x−22=y−3=z+35.

ответ: x−22=y−3=z+35.

б) Прямая, параллельная заданной прямой, должна быть параллельна ее направляющему вектору. Направляющий вектор прямой  x−15=y+22=z+1−1 имеет координаты S⎯⎯⎯(5,2,−1). Далее, находим уравнение прямой проходящей точку M0(2,0,−3) параллельно вектору S⎯⎯⎯(5,2,−1) как и в пункте а):

x−25=y−02=z−(−3)−1⇒x−25=y2=z+3−1.

ответ: x−25=y2=z+3−1.

в) ось OX имеет направляющий вектор i=(1,0,0). Таким образом, ищем уравнение прямой проходящей точку M0(2,0,−3) параллельно вектору i(1,0,0):

x−21=y−00=z−(−3)0⇒x−21=y0=z+30.

ответ: x−21=y0=z+30.

д) Прямая, заданная как пересечение двух плоскостей перпендикулярна нормалям обеих плоскостей, поэтому Направляющий вектор прямой

{3x−y+2z−7=0,x+3y−2z−3=0; можно найти как векторное произведение нормалей заданных плоскостей.

Для плоскости P1: 3x−y+2z−7=0 нормальный вектор имеет координаты N1(3,−1,2);

для плосости P2: x+3y−2z−3, нормальный вектор имеет координаты N2(1,3,−2).

Находим векторное произведение:

[N1,N2]=∣∣∣∣∣i31j−13k2−2∣∣∣∣∣=i(2−6)−j(−6−2)+k(9+1)=−4i+8j+10k.

Таким образом, направляющий вектор прямой {3x−y+2z−7=0,x+3y−2z−3=0; имеет координаты S⎯⎯⎯(−4,8,10).

Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку M0(2,0,−3) параллельно вектору S⎯⎯⎯(−4,8,10):

x−2−4=y−08=z−(−3)10⇒x−2−4=y8=z+310.

ответ: x−2−4=y8=z+310.

 {jumi[*4]}

е) Найдем направляющий вектор прямой  x=−2+t,y=2t,z=1−12t. Для этого запишем уравнение этой прямой в каноническом виде:

⎧⎩⎨⎪⎪x=−2+t,y=2t,z=1−12t⇒ ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪t=x+2,t=y2,t=z−1−12 ⇒x+21=y2=z−1−12.

Отсюда находим направляющий вектор S⎯⎯⎯(1,2,−12). Умножим координаты направляющего вектора на 2 (чтобы избавиться от дроби): S⎯⎯⎯1(2,4,−1).

Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку M0(2,0,−3) параллельно вектору S⎯⎯⎯(2,4,−1):

x−22=y−04=z−(−3)−1⇒x−22=y4=z+3−1.

ответ: x−22=y4=z+3−1.

2.199(a). Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1(1,−2,1) и M2(3,1,−1).

Решение.

Воспользуемся формулой (3) уравнения прямой в пространстве:

x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1− уравнение прямой, которая проходит через две точки A(x1,y1,z1) и B(x2,y2,z2).

Подставляем заданные точки:

x−13−1=y+21+2=z−1−1−1⇒ x−12=y+23=z−1−2.

ответ: x−12=y+23=z−1−2.

2.204. Найти расстояние между параллельными прямыми

x−23=y+14=z2 и x−73=y−14=z−32.

Решение.

Расстояние между параллельными прямыми L1 и L2  равно расстоянию от произвольной точки прямой L1 до прямой L2. Следовательно, его можно найти по формуле

d(L1,L2)=d(M1,L2)=|[M1M2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯,S⎯⎯⎯]||S⎯⎯⎯|,

где M1− произвольная точка прямой L1, M2−произвольная точка прямой L2, S⎯⎯⎯− направляющий вектор прямой L2.

Из канонических уравнений прямых берем точки M1=(2,−1,0)∈L1, M2=(7,1,3)∈L2, $\overline S=(3, 4, 2).$

Отсюда находим M1M2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=(7−2,1−(−1),3−0)=(5,2,3);