Question

Вычислите производную в точке x0

Answer 1

$f'(x_0) = 2x_0$

Пошаговое объяснение:

$f(x) = x^2\\\\f'(x_0) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{(x_0+\Delta x)^2-x_0^2}{\Delta x}= \\\\= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{x_0^2 + 2x\cdot \Delta x+(\Delta x)^2-x_0^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{2x\cdot \Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0} (2x_0+\Delta x) =\\\\= 2x_0+0 = 2x_0$

Answer 2

Для начала определимся, что такое производная в точке. Производная функции в данной точке показывает, как быстро меняется значение функции при малом изменении ее аргумента в этой точке. Если исходная функция задана алгебраически, можно воспользоваться формулой для производной и найти ответ.

Данная функция представляется суммой двух слагаемых: x^3 и 2x. В данном случае, для нахождения производной, мы будем применять следующие правила:

1. Правило дифференцирования степенной функции: производная функции x^n равна n * x^(n-1).
2. Правило линейности производной: дифференцирование суммы и разности функций равно сумме и разности их производных.

Давайте вычислим производную функции x^3 в точке x0. Пользуясь первым правилом, производная функции x^3 будет равна 3 * x^(3-1), что равно 3 * x^2.

Затем вычислим производную функции 2x в точке x0. Согласно первому правилу, производная функции 2x будет равна 2 * x^(1-1), что равно 2 * x^0, а так как x^0 является константой и равно 1 для любого x, то производная функции 2x будет равна 2.

Теперь согласно правилу линейности производной, производная суммы функций будет равна сумме их производных, поэтому производная исходной функции будет равна сумме производных от каждого слагаемого.

То есть, производная функции f(x) = x^3 + 2x будет равна производной от x^3 (3 * x^2) плюс производную от 2x (2).

Таким образом, производная функции f(x) в точке x0 будет равна 3 * x0^2 + 2.

В данном случае производная функции в точке x0 зависит от значения x0, которое не было указано в вопросе. Чтобы найти точное значение производной в этой точке, необходимо знать значение x0 и подставить его вместо x0 в выражение 3 * x0^2 + 2.