ЛЁГКОЕ ЗАДАНИЕ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат, если действительная полуось равна 5, вершина делит расстояние между центрами и фокусами пополам
Для начала, чтобы составить каноническое уравнение гиперболы, нам понадобится информация о действительной полуоси и расстоянии между центрами и фокусами. Давайте обозначим действительную полуось как a и расстояние между центрами и фокусами как c.
Из условия задачи нам дано, что действительная полуось равна 5. Значит, a = 5.
Также нам сказано, что вершина гиперболы делит расстояние между центрами и фокусами пополам. Из этого следует, что расстояние между центрами и фокусами равно 2c, а вершина находится на расстоянии c от центра гиперболы.
Используя эти данные, мы можем найти значение c.
Мы знаем, что уравнение гиперболы в канонической форме имеет вид:
(x-h)^2 / a^2 - (y-k)^2 / b^2 = 1,
где (h,k) - это координаты центра гиперболы, a - действительная полуось по оси x, и b - действительная полуось по оси y.
В нашем случае, оси гиперболы совпадают с осями координат, поэтому центр гиперболы будет иметь координаты (0,0). Значит, (h,k) = (0,0).
Мы знаем, что c = (расстояние между центрами и фокусами) / 2.
Так как вершина делит расстояние между центрами и фокусами пополам, то вершина находится на расстоянии c от центра гиперболы.
Теперь мы можем найти значение c. C помощью формулы Pythagorean Theorem:
c^2 = a^2 + b^2.
В нашем случае a = 5, поэтому уравнение будет иметь вид:
c^2 = 5^2 + b^2.
Также у нас есть информация о том, что вершина гиперболы находится на расстоянии c от центра гиперболы. Это можно записать уравнением:
c = 5 - b,
где b - это действительная полуось по оси y.
Теперь мы имеем систему двух уравнений:
c^2 = 5^2 + b^2,
c = 5 - b.
Теперь давайте решим эту систему уравнений.
Используя второе уравнение, мы можем заменить c в первом уравнении:
(5 - b)^2 = 5^2 + b^2.
Раскроем скобки в левой части этого уравнения:
25 - 10b + b^2 = 25 + b^2.
Здесь b^2 сократится, и мы получим:
-10b = 0.
Разделим обе части на -10, чтобы найти значение b:
b = 0.
Теперь, когда у нас есть значение b, мы можем найти значение c с помощью второго уравнения:
c = 5 - b,
c = 5 - 0,
c = 5.
Таким образом, мы получили значения a = 5 и c = 5.
Ответ: каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат, при условии, что действительная полуось равна 5 и вершина делит расстояние между центрами и фокусами пополам, будет x^2 / 25 - y^2 / 25 = 1.
Для начала, чтобы составить каноническое уравнение гиперболы, нам понадобится информация о действительной полуоси и расстоянии между центрами и фокусами. Давайте обозначим действительную полуось как a и расстояние между центрами и фокусами как c.
Из условия задачи нам дано, что действительная полуось равна 5. Значит, a = 5.
Также нам сказано, что вершина гиперболы делит расстояние между центрами и фокусами пополам. Из этого следует, что расстояние между центрами и фокусами равно 2c, а вершина находится на расстоянии c от центра гиперболы.
Используя эти данные, мы можем найти значение c.
Мы знаем, что уравнение гиперболы в канонической форме имеет вид:
(x-h)^2 / a^2 - (y-k)^2 / b^2 = 1,
где (h,k) - это координаты центра гиперболы, a - действительная полуось по оси x, и b - действительная полуось по оси y.
В нашем случае, оси гиперболы совпадают с осями координат, поэтому центр гиперболы будет иметь координаты (0,0). Значит, (h,k) = (0,0).
Мы знаем, что c = (расстояние между центрами и фокусами) / 2.
Так как вершина делит расстояние между центрами и фокусами пополам, то вершина находится на расстоянии c от центра гиперболы.
Теперь мы можем найти значение c. C помощью формулы Pythagorean Theorem:
c^2 = a^2 + b^2.
В нашем случае a = 5, поэтому уравнение будет иметь вид:
c^2 = 5^2 + b^2.
Также у нас есть информация о том, что вершина гиперболы находится на расстоянии c от центра гиперболы. Это можно записать уравнением:
c = 5 - b,
где b - это действительная полуось по оси y.
Теперь мы имеем систему двух уравнений:
c^2 = 5^2 + b^2,
c = 5 - b.
Теперь давайте решим эту систему уравнений.
Используя второе уравнение, мы можем заменить c в первом уравнении:
(5 - b)^2 = 5^2 + b^2.
Раскроем скобки в левой части этого уравнения:
25 - 10b + b^2 = 25 + b^2.
Здесь b^2 сократится, и мы получим:
-10b = 0.
Разделим обе части на -10, чтобы найти значение b:
b = 0.
Теперь, когда у нас есть значение b, мы можем найти значение c с помощью второго уравнения:
c = 5 - b,
c = 5 - 0,
c = 5.
Таким образом, мы получили значения a = 5 и c = 5.
Теперь мы можем записать каноническое уравнение гиперболы:
(x-0)^2 / 5^2 - (y-0)^2 / 5^2 = 1,
x^2 / 25 - y^2 / 25 = 1.
Ответ: каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат, при условии, что действительная полуось равна 5 и вершина делит расстояние между центрами и фокусами пополам, будет x^2 / 25 - y^2 / 25 = 1.