Всероссийская олимпиада школьников по математике. 1.12.2020
I этап
11 класс
Работа рассчитана на 235 минут
2х2 + 2 = y– 1;
1. Решить систему 32у2 + 2 = z– 1;
222 + 2 = x-1.
2. Доказать, что если cosx+cosy+cosz=0 , то
cos15 + cos+ 2 cos15 = sin+ + sin1 sin1
А
В
3. Из четырёх правильных пятиугольников
со стороной 1 и квадрата склеили коробку
(см. рис.) Найти расстояние между точками
А и В.
4. Найти наибольшее Стакое, что для всех
yz4x>0 выполняется неравенство x+y'>Сху.
Что
5. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) точка D на
стороне
АС такова,
радиус Вписанной
окружности
треугольника ABD равен радиусу вневписанной окружности
треугольника CBD, касающейся стороны CD. Доказать, что длина
этих радиусов составляет четверть длины высоты, опущенной из
точки Cв треугольнике ABC.
6. Для натурального числа пG (п) обозначает количество натуральных
чисел m, для которых т+п делит тп. Найти G(10%).
