Question

Высоты АА1 и СС1 остроугольного треугольника пересекаются в точке Н. Докажите , что: 1) Точки Н, С1, В и А1 лежат на одной окружности; 2) точки А, С1, А1 и С лежат на одной окружности УМОЛЯЮ

Answer 1

Чтобы доказать данные утверждения, воспользуемся свойствами остроугольного треугольника.

1) Точки Н, С1, В и А1 лежат на одной окружности:

Для начала докажем, что НС1 * НВ = НА * НА1. Если это верно, то точки Н, С1, В и А1 образуют вписанный четырехугольник и лежат на одной окружности.

- Для этого рассмотрим подобные треугольники АНС1 и А1НВ.
По свойству высот треугольника, высота треугольника делится на две части таким образом, что произведение этих частей равно произведению других двух сторон треугольника.
То есть, АН * АС1 = АН * А1В.
- Теперь заметим, что треугольники АНВ и АНА1 также подобны.
Таким образом, АН * АВ = АН * А1А.
- Отсюда получаем, что АН * АС1 = АН * АВ = АН * А1А.
- Значит, НС1 * НВ = НА * НА1.
Таким образом, точки Н, С1, В и А1 лежат на одной окружности.

2) Точки А, С1, А1 и С лежат на одной окружности:

Для доказательства этого утверждения можно провести аналогичные рассуждения.
Докажем, что АС1 * АС = АА1 * AS. Если это верно, то точки А, С1, А1 и С образуют вписанный четырехугольник и лежат на одной окружности.

- Рассмотрим подобные треугольники АА1С и АС1С.
По свойству высот треугольника, высота треугольника делится на две части таким образом, что произведение этих частей равно произведению других двух сторон треугольника.
То есть, АA1 * AC1 = АС * AS.
- Заметим, что треугольники АСС1 и АСА1 также подобны.
Таким образом, АС * AC1 = АА1 * AS.
- Отсюда получаем, что АС1 * АС = АА1 * AS.
Значит, точки А, С1, А1 и С лежат на одной окружности.

Таким образом, мы доказали оба утверждения и завершаем решение задачи.