Question

Даны координаты точек А, В, С и М. Найти: 1. уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, и С;
2.канонические уравнения прямой, проходящей через точку М
перпендикулярно плоскости Q,;
3.точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q,и с
координатными плоскостями xOy, xOz, yOz;
А(3;-1;5)
В(7;1;1)
С(4;-2;1)
М(5;1;0)

Answer 1

Даны координаты точек: А(3;-1;5), В(7;1;1), С(4;-2;1) , М(5;1;0).

Найти: 1. уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, и С.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA            y - yA             z - zA

xB - xA        yB - yA           zB - zA

xC - xA        yC - yA           zC - zA    = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 3            y - (-1)           z - 5

7 - 3            1 - (-1)            1 - 5

4 - 3           (-2) - (-1)         1 - 5   = 0

x - 3          y - (-1)           z - 5

4            2               -4

1           -1                  -4      = 0

(x - 3)  (2·(-4)-(-4)·(-1))  -  (y - (-1))  (4·(-4)-(-4)·1)  +  (z - 5) ( 4·(-1)-2·1)  = 0

(-12) (x - 3)  + 12 (y - (-1))  + (-6) (z - 5)  = 0

 - 12x + 12y - 6z + 78 = 0   или, сократив на (-6) получаем:

2x - 2y + z - 13 = 0.

2.канонические уравнения прямой, проходящей через точку М

перпендикулярно плоскости Q.

Нормальный вектор плоскости Q - это направляющий вектор перпендикуляра к этой плоскости: n = (2; -2; 1).

Получаем уравнение перпендикуляра к плоскости Q через точку М:

(x - 5)/2 = (y - 1)/(-2) = z/1.

3.точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q,и с

координатными плоскостями xOy, xOz, yOz.

Найденное уравнение перпендикуляра выразим в параметрическом виде: (x - 5)/2 = (y - 1)/(-2) = z/1 = t.

Выражаем координаты переменных с параметра t.

x = 2t + 5, y = -2t + 1, z = t и подставим в уравнение плоскости.

2(2t + 5) - 2(-2t + 1) + t - 13 = 0,

4t + 10 + 4t - 2 + t - 13 = 0,

9t = 5.

t = 5/9 и получаем координаты точки пересечения прямой и плоскости Q:  

x = 2(5/9) + 5 = 55/9,

y = -2(5/9) + 1 = -1/9,

z = 5/9.

C плоскостью xOy при z = 0,   (x -5)/2 = 0, x = 5, (у - 1)/(-2) = 0, у = 1.

C плоскостью xOz при у = 0, (x -5)/2 = 0, x = 5, z/1 = 0, z = 0.

С плоскостью yOz при x = 0, (y -1)/2 = 0, y = 1, z/1 = 0, z = 0.