Добрый день! Я рад выступить в роли вашего школьного учителя и помочь вам разобраться с этим математическим вопросом.
У нас есть неравенство |xn-a|<0.001, где xn=6n-5/3n+2. Наша задача состоит в том, чтобы найти такое n0, чтобы неравенство выполнено для всех n>n0.
Для начала, посмотрим на выражение xn=6n-5/3n+2 и попробуем его упростить:
xn = (6n-5)/(3n+2)
Для упрощения этого выражения, мы можем использовать разложение на простейшие дроби. Применим это разложение, мы получим:
xn = (2n-1) / (n+2)
Теперь у нас есть более простое выражение для xn.
Далее, мы должны найти значение a, чтобы выполнить неравенство |xn-a|<0.001.
Обратите внимание, что |xn-a| - это абсолютная разность между xn и a.
Для того чтобы абсолютная разность была меньше 0.001, нам нужно, чтобы она была в диапазоне от -0.001 до 0.001. То есть, нам нужно, чтобы выполнены следующие неравенства:
-0.001 < xn - a < 0.001
Давайте вставим выражение xn в это неравенство:
-0.001 < (2n-1) / (n+2) - a < 0.001
Теперь, для того чтобы продвинуться в решении задачи, давайте посмотрим на левую часть неравенства: (2n-1) / (n+2) - a.
Сначала, давайте найдем общий знаменатель для двух дробей:
(2n-1) / (n+2) - a = (2n-1 - a(n+2)) / (n+2)
Теперь давайте найдем числитель и сделаем его более простым:
2n-1 - a(n+2) = 2n - 1 - an - 2a
Теперь давайте сгруппируем похожие слагаемые:
(2n - an) + (-1 - 2a) = n(2-a) - (1+2a)
Теперь у нас есть более простое выражение для числителя.
Вернемся к исходному неравенству:
-0.001 < (2n-1) / (n+2) - a < 0.001
Заменим числитель в исходном неравенстве на более простое выражение:
-0.001 < n(2-a) - (1+2a) / (n+2) < 0.001
Теперь, используем ограничения неравенства, чтобы решить это уравнение.
Слева от неравенство, мы хотим, чтобы максимальное значение n(2-a) - (1+2a)/ (n+2) было меньше, чем 0.001. Давайте найдем эти значения.
n(2-a) - (1+2a) / (n+2) < 0.001
Мы хотим найти максимальное значение для этого выражения.
Как мы видим, n в числителе делит n+2 в знаменателе. Это значит, что мы должны выбрать наибольшее возможное значение для n, чтобы добиться наиболее малого значения всего выражения.
Если мы рассмотрим n+2 в знаменателе, чтобы его значение оставалось положительным, нам нужно, чтобы n+2 > 0. Отсюда следует, что n > -2.
Теперь давайте найдем это максимальное значение, взяв предел выражения для n->+∞:
lim (n → +∞) n(2-a) - (1+2a) / (n+2)
Мы видим, что когда n стремится к бесконечности, старшие коэффициенты играют наиболее значимую роль в этом выражении. То есть, эта часть будет доминирующей частью.
Следовательно, чтобы найти максимальное значение этого выражения, мы можем проигнорировать более низкоразрядные члены, такие как (1+2a)/ (n+2).
Таким образом, у нас остается только n(2-a), но значение n также стремится к бесконечности, поэтому n(2-a) также будет стремиться к бесконечности.
Следовательно, исходное неравенство может быть выполнено для всех n, строго больше `-2`.
Пошаговое объяснение:
64вззв646в7497в496в407407в40в740ы74074ы