Question

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=АС) проведена биссектриса ВL. При чём BL=BC-AL. Наайдите углы треугольрика АВС.

Answer 1

обозначим стороны АВ=АС=b, BC=a, биссектрису BL=d,

угол ABL=альфа, тогда углы при основании треугольника ABC=ACB=(2альфа)

угол при вершине BAC=(180-4альфа)

и альфа должен быть < 45 градусов, т.е. 2альфа должен быть < 90 градусов, т.к. в равнобедренном треугольнике угол при основании не может быть тупым...

угол ALB=(3альфа)

по т.синусов: a*sin(2альфа) = b*sin(180-4альфа)

отсюда a = b*sin(180-4альфа) / sin(2альфа) = b*sin(4альфа) / sin(2альфа) =

= 2*b*cos(2альфа)

по т.синусов: AL*sin(3альфа) = b*sin(альфа)= 2*b*cos(2альфа)

по т.синусов: AL*sin(3альфа) = b*sin(альфа)

по условию задачи d = BC - AL = a - b*sin(альфа) / sin(3альфа) =

= 2*b*cos(2альфа) - b*sin(альфа) / sin(3альфа) = = b* ( 2*cos(2альфа) - sin(альфа) / sin(3альфа) )

для длины биссектрисы справедлива формула: d = 2*a*b*cos(альфа) / (a+b)

отдельно запишем a+b = 2*b*cos(2альфа) + b = b*(2*cos(2альфа) + 1)d = 2*2*b*cos(2альфа)*b*cos(альфа) / ( b*(2*cos(2альфа) + 1) ) =

=4*b*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)

если приравнять два получившихся равенства для биссектрисы d, то длина стороны b сократится и останется тригонометрическое равенство:

sin(альфа) / sin(3альфа) =

= 2*cos(2альфа) - 4*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)после несложных преобразований можно получить равенство:

2*cos(2альфа)*(4*(cos(альфа))^2 - 1) = 1 + 4*cos(2альфа)*cos(альфа)

это выражение можно привести к полному уравнению четвертой степени относительно косинуса альфа (но у меня красивое решение этого уравнения никак не получается...)))одно из решений здесь очевидно... cos(альфа) = +- 1/2

но этот угол не может быть в равнобедренном треугольнике (см. выше...)))

если решать оставшееся кубическое уравнение, то единственным подходящим решением получается cos(альфа) =примерно= 0.94 (0.93969)

это угол около 20 градусов

тогда углы данного равнобедренного треугольника 40, 40, 100