Question

Cмешанная производная второго порядка (∂^2 f)/∂x∂y (x,y) функции f(x,y)=3x^2 y^2-4xy+6 в точке m(-1,1) находится в интервале ​

Answer 1

Для нахождения смешанной производной второго порядка (∂^2 f)/∂x∂y (x,y) функции f(x,y)=3x^2 y^2-4xy+6 в точке m(-1,1), нам нужно сначала найти частные производные первого порядка по x и y, а затем найти частную производную (∂^2 f)/∂x∂y, используя найденные значения.

Шаг 1: Найдем частные производные первого порядка по x и y.

Чтобы найти (∂ f)/∂x, мы дифференцируем функцию f(x,y) по x, считая y константой:
(∂ f)/∂x = d/dx (3x^2 y^2 - 4xy + 6)
= 6xy^2 - 4y

Чтобы найти (∂ f)/∂y, мы дифференцируем функцию f(x,y) по y, считая x константой:
(∂ f)/∂y = d/dy (3x^2 y^2 - 4xy + 6)
= 6x^2 y - 4x

Шаг 2: Найдем смешанную производную (∂^2 f)/∂x∂y.

Чтобы найти (∂^2 f)/∂x∂y, мы дифференцируем частную производную (∂ f)/∂x по y, считая x константой:
(∂^2 f)/∂x∂y = d/dy (6xy^2 - 4y)
= 12xy - 4

Шаг 3: Подставим точку m(-1,1) в полученные производные, чтобы найти значения в этой точке.

Для (∂ f)/∂x:
(∂ f)/∂x = 6xy^2 - 4y
= 6(-1)(1)^2 - 4(1)
= -6 - 4
= -10

Для (∂ f)/∂y:
(∂ f)/∂y = 6x^2 y - 4x
= 6(-1)^2 (1) - 4(-1)
= 6 - 4
= 2

Для (∂^2 f)/∂x∂y:
(∂^2 f)/∂x∂y = 12xy - 4
= 12(-1)(1) - 4
= -12 - 4
= -16

Таким образом, смешанная производная второго порядка (∂^2 f)/∂x∂y функции f(x,y)=3x^2 y^2-4xy+6 в точке m(-1,1) равна -16.