Question

Y'=x^2+y^2,y (0)=2 найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y (x), дифф уравнения удовлетворяющего данному начальному условию y (0)=a ​

Answer 1

Для решения данного дифференциального уравнения будем использовать метод разложения в степенной ряд.

Предположим, что искомая функция y(x) может быть представлена в виде:

y(x) = a_0 + a_1 * x + a_2 * x^2 + a_3 * x^3 + ...

Где a_0, a_1, a_2, ... - коэффициенты, которые мы должны найти.

Далее, подставим данное представление в исходное дифференциальное уравнение:

y' = x^2 + y^2

Дифференцируя и подставляя разложение функции y(x), получим:

(a_1 + 2*a_2*x + 3*a_3*x^2 + ...) = x^2 + (a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 + ...)^2

Разложим квадрат суммы (a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 + ...)^2:

(a_1 + 2*a_2*x + 3*a_3*x^2 + ...) = x^2 + a_0^2 + 2*a_0*a_1*x + 2*a_0*a_2*x^2 + ...

Далее, сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

1) Приравниваем коэффициенты при x^0:
0 = x^2 + a_0^2
a_0^2 = -x^2
a_0 = ±√(-x^2)

2) Приравниваем коэффициенты при x^1:
a_1 = 0

3) Приравниваем коэффициенты при x^2:
2*a_2 = 1
a_2 = 1/2

Таким образом, первые три отличных от нуля члена разложения в степенной ряд для решения данного дифференциального уравнения при начальном условии y(0) = a:

y(x) = ±√(-x^2) + (1/2) * x^2 + ...

Обоснование:
Представив функцию y(x) в виде степенного ряда, мы получили систему уравнений с неизвестными коэффициентами. Решив данную систему, мы нашли значения коэффициентов при каждой степени x.

Шаги решения:
1. Записываем представление функции y(x) в виде степенного ряда и подставляем в исходное уравнение.
2. Дифференцируем и подставляем разложение функции y(x) в полученное выражение.
3. Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x и находим значения коэффициентов a_0, a_1, a_2, ...
4. Записываем разложение функции y(x) в степенной ряд с найденными коэффициентами.