Question

Дан треугольник АВС с вершинами: A(6;-4;2), B(3;2;3), C(3;-5;-1)
Докажите, что данный треугольник - прямоугольный, и назовите его прямой угол.

Answer 1

Чтобы доказать, что треугольник АВС является прямоугольным, нужно показать, что два из его сторон перпендикулярны друг к другу. Давайте проверим это:

1. Найдем векторы двух сторон треугольника:
a = AB = B - A = (3 - 6, 2 - (-4), 3 - 2) = (-3, 6, 1)
b = AC = C - A = (3 - 6, -5 - (-4), -1 - 2) = (-3, -1, -3)

2. Вычислим скалярное произведение этих векторов:
a · b = (-3)(-3) + 6(-1) + 1(-3) = 9 - 6 - 3 = 0

3. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны. Значит, стороны AB и AC перпендикулярны друг к другу.

Таким образом, треугольник АВС является прямоугольным.

Теперь назовем прямой угол данного треугольника. Для этого найдем косинусы углов при каждой из вершин треугольника (A, B и C). Если косинус угла равен 0, то этот угол является прямым.

1. Угол ABC:
cos(ABC) = (a · b) / (||a|| ||b||)
||a|| = √((-3)^2 + 6^2 + 1^2) = √(9 + 36 + 1) = √46
||b|| = √((-3)^2 + (-1)^2 + (-3)^2) = √(9 + 1 + 9) = √19
cos(ABC) = 0 / (√46 * √19) = 0
Угол ABC является прямым.

2. Угол BCA:
cos(BCA) = (b · c) / (||b|| ||c||)
||c|| = √((-3)^2 + (-5)^2 + (-1)^2) = √(9 + 25 + 1) = √35
cos(BCA) = 0 / (√19 * √35) = 0
Угол BCA является прямым.

3. Угол CAB:
cos(CAB) = (c · a) / (||c|| ||a||)
cos(CAB) = 0 / (√35 * √46) = 0
Угол CAB является прямым.

Итак, у треугольника АВС все три угла являются прямыми. Прямой угол можно отнести к любому из них, например, к углу ABC.