Попробую { x^2 + y^2 - 2z^2 = 2a^2 { x + y + 2z = 4a^2 + 4 { z^2 - xy = a^2 Умножим 3 уравнение на 2 и сложим с 1 уравнением. x^2 + y^2 - 2z^2 + 2z^2 - 2xy = 2a^2 + 2a^2 x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 = 4a^2 x - y = +-2a; y = x -+ 2a Получаем 2 уравнения { x + y + 2z = 4a^2 + 4 __ (1) { y = x -+ 2a _ _ _ _ _ _ _ (2) Не обращайте внимания на нижние подчеркивания, они для выравнивания строк по горизонтали. Подставляем уравнение (2) в уравнение (1) x + x -+ 2a + 2z = 4a^2 + 4 Делим все на 2 x -+ a + z = 2a^2 + 2 x + z = 2a^2 +- a + 2 _ (3) Сложим уравнения (3) и (2) x + y + z = 2a^2 +- a + 2 + x -+ 2a = 2a^2 -+ a + 2 + x В общем, я не могу это доказать, но у меня такое чувство, что x + y + z = 3a^2 Тогда выражение x0 + y0 + z0 - 3a^2 = 0
Расстояние от точки М до точки F1 - это модуль вектора F1M(x1;y1). Координаты вектора: x1=Xm-Xf1, y1=Ym-Yf1 или x1=Xm-4, y1=Ym-0. |F1M| = √(х1²+y1²) или |MF1| = √[(Xm-4)²+(Ym-0)²]. Расстояние от точки М до точки F2 - это модуль вектора F2М(x2;y2). И |F2M|=√[(Xm+4)²+Ym²]. Тогда наше условие можно выразить так: √[(Xm-4)²+Ym²]-√[(Xm+4)²+Ym²]=|6|. => √[(Xm-4)²+Ym²]=|6|+√[(Xm+4)²+Ym²]. Возведем обе части уравнения в квадрат: (Xm-4)²+Ym²=|6|²+2*|6|*√[(Xm+4)²+Ym²]+(Xm+4)²+Ym² => Xm²-8Xm+16=36+2*|6|*√[(Xm+4)²+Ym²]+Xm²+8Xm+16 => -8Xm=36+2*|6|*√[(Xm+4)²+Ym²]+8Xm => -8Xm-18=|6|*√[(Xm+4)²+Ym²] - возводим еще раз в квадрат: (-8Xm-18)²=36[(Xm+4)²+Ym²] => 64Xm²+288Xm+324=36Xm²+288Xm+576+36Ym² => 28Xm²-36Ym²=252. Или (разделим на 4) => 7Xm²-9Ym²=63 - уравнение кривой 2-го порядка в общем виде. Если разделим обе части на 63, то получим Xm²/9-Ym²/7=1 или Xm²/3²-Ym²/(√7)²=1 - каноническое уравнение гиперболы. ответ: искомое уравнение для точек М - уравнение гиперболы 7Xm²-9Ym²=63 или Xm²/3²-Ym²/(√7)²=1
P.S. Исследование уравнения гиперболы выходит за рамки заданного вопроса.
{ x^2 + y^2 - 2z^2 = 2a^2
{ x + y + 2z = 4a^2 + 4
{ z^2 - xy = a^2
Умножим 3 уравнение на 2 и сложим с 1 уравнением.
x^2 + y^2 - 2z^2 + 2z^2 - 2xy = 2a^2 + 2a^2
x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 = 4a^2
x - y = +-2a; y = x -+ 2a
Получаем 2 уравнения
{ x + y + 2z = 4a^2 + 4 __ (1)
{ y = x -+ 2a _ _ _ _ _ _ _ (2)
Не обращайте внимания на нижние подчеркивания, они для выравнивания строк по горизонтали.
Подставляем уравнение (2) в уравнение (1)
x + x -+ 2a + 2z = 4a^2 + 4
Делим все на 2
x -+ a + z = 2a^2 + 2
x + z = 2a^2 +- a + 2 _ (3)
Сложим уравнения (3) и (2)
x + y + z = 2a^2 +- a + 2 + x -+ 2a = 2a^2 -+ a + 2 + x
В общем, я не могу это доказать, но у меня такое чувство, что
x + y + z = 3a^2
Тогда выражение x0 + y0 + z0 - 3a^2 = 0