Для того чтобы получить квадратное уравнение, мы будем использовать замену t = (x-7)^2.
Подставим эту замену в исходное уравнение:
3(x-7)^4 + (x-7)^2 - 8 = 0
Теперь заменим (x-7)^2 на t:
3t^2 + t - 8 = 0
Таким образом, получили квадратное уравнение 3t^2 + t - 8 = 0, где t = (x-7)^2.
Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод дискриминанта или метод факторизации.
1) Решение методом дискриминанта:
Сначала найдем значение дискриминанта по формуле D = b^2 - 4ac.
В нашем случае:
a = 3, b = 1, c = -8.
Подставим значения в формулу:
D = (1)^2 - 4(3)(-8)
D = 1 + 96
D = 97
Значение дискриминанта равно 97.
Теперь рассмотрим случаи:
a) Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня.
b) Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
c) Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.
2) Решение методом факторизации:
Приведем уравнение к виду (t - p)(t - q) = 0, где p и q - корни уравнения.
Для этого разложим левую часть уравнения на множители:
3t^2 + t - 8 = 0
(3t + 4)(t - 2) = 0
Теперь мы получили разложение левой части на множители.
Получаем два уравнения:
1) 3t + 4 = 0, откуда t = -4/3
2) t - 2 = 0, откуда t = 2
Таким образом, получаем два значения t: t = -4/3 и t = 2.
Теперь мы можем подставить значения t обратно в исходное уравнение для нахождения значений x.
1) При t = -4/3
(x-7)^2 = -4/3
x-7 = ± √(-4/3)
Так как у вещественных чисел отрицательного значения не может быть под корнем, то данное уравнение не имеет действительных корней.
2) При t = 2
(x-7)^2 = 2
x - 7 = ±√2
Решим оба уравнения:
a) x - 7 = √2
x = 7 + √2
b) x - 7 = -√2
x = 7 - √2
Итак, получаем два значения x: x = 7 + √2 и x = 7 - √2.
Таким образом, решение исходного уравнения 3(x-7)^4 + (x-7)^2 - 8 = 0 с заменой t = (x-7)^2 равно x = 7 + √2 и x = 7 - √2, при условии того, что t = 2.
Подставим эту замену в исходное уравнение:
3(x-7)^4 + (x-7)^2 - 8 = 0
Теперь заменим (x-7)^2 на t:
3t^2 + t - 8 = 0
Таким образом, получили квадратное уравнение 3t^2 + t - 8 = 0, где t = (x-7)^2.
Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод дискриминанта или метод факторизации.
1) Решение методом дискриминанта:
Сначала найдем значение дискриминанта по формуле D = b^2 - 4ac.
В нашем случае:
a = 3, b = 1, c = -8.
Подставим значения в формулу:
D = (1)^2 - 4(3)(-8)
D = 1 + 96
D = 97
Значение дискриминанта равно 97.
Теперь рассмотрим случаи:
a) Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня.
b) Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
c) Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.
2) Решение методом факторизации:
Приведем уравнение к виду (t - p)(t - q) = 0, где p и q - корни уравнения.
Для этого разложим левую часть уравнения на множители:
3t^2 + t - 8 = 0
(3t + 4)(t - 2) = 0
Теперь мы получили разложение левой части на множители.
Получаем два уравнения:
1) 3t + 4 = 0, откуда t = -4/3
2) t - 2 = 0, откуда t = 2
Таким образом, получаем два значения t: t = -4/3 и t = 2.
Теперь мы можем подставить значения t обратно в исходное уравнение для нахождения значений x.
1) При t = -4/3
(x-7)^2 = -4/3
x-7 = ± √(-4/3)
Так как у вещественных чисел отрицательного значения не может быть под корнем, то данное уравнение не имеет действительных корней.
2) При t = 2
(x-7)^2 = 2
x - 7 = ±√2
Решим оба уравнения:
a) x - 7 = √2
x = 7 + √2
b) x - 7 = -√2
x = 7 - √2
Итак, получаем два значения x: x = 7 + √2 и x = 7 - √2.
Таким образом, решение исходного уравнения 3(x-7)^4 + (x-7)^2 - 8 = 0 с заменой t = (x-7)^2 равно x = 7 + √2 и x = 7 - √2, при условии того, что t = 2.