решить В прямоугольник с вершинами А(-2,0), В(-2,5), С(1,5), Е(1,0) брошена точка. Какова вероятность того, что еѐ координаты (х,у) будут удовлетворять неравенствам x^2 ⩽y ⩽2-x?
Для решения данной задачи, нам необходимо использовать геометрический подход.
1. Нарисуем прямоугольник ABCDE с заданными вершинами.
A(-2,0) B(-2,5)
___________
| |
| |
| |
D(1,0) C(1,5)
2. Теперь нам нужно определить область, в которой координаты (x,y) должны находиться, чтобы удовлетворять неравенствам x^2 ⩽ y ⩽ 2-x.
- Начнем с первого неравенства x^2 ⩽ y.
Для этого нам нужно найти область между графиками функций y = x^2 и y = 0.
График функции y = x^2 представляет собой параболу, открывшуюся вверх.
График функции y = 0 представляет собой прямую, параллельную оси x и проходящую через начало координат.
Таким образом, область, в которой выполняется первое неравенство, - это площадь, заключенная между графиком параболы и осью x.
- Теперь рассмотрим второе неравенство y ⩽ 2-x.
Для этого нам нужно найти область между графиками функций y = 2-x и y = 5.
График функции y = 2-x представляет собой прямую, проходящую через точки (0,2) и (3, -1).
График функции y = 5 представляет собой прямую, параллельную оси x и проходящую через точку (0,5).
Таким образом, область, в которой выполняется второе неравенство, - это площадь, заключенная между графиком прямой и прямой y = 5.
3. Теперь нам нужно определить пересечение двух областей, чтобы найти конечную область, в которой должны находится координаты (x,y).
- Из области первого неравенства мы должны исключить точку В, чтобы удовлетворяла второму неравенству.
Точка В уже находится за пределами области y ⩽ 2-x.
- Таким образом, конечная область, в которой должны находиться координаты (x,y), - это область, заключенная между графиками параболы y = x^2, прямой y = 0 и прямой y = 5, и исключая точку В(-2,5).
4. Теперь мы можем найти площадь этой конечной области.
Площадь всего прямоугольника ABCDE можно найти как произведение его длины и ширины:
P(прямоугольник ABCDE) = AB * BC = (5-0)(1-(-2)) = 15.
Площадь конечной области можно найти как разность площади всего прямоугольника и площади треугольника, образованного точкой B(-2,5) и двумя точками пересечения графиков параболы и прямой y = 5.
Площадь треугольника BCD:
P(треугольник BCD) = 0.5 * BD * BC = 0.5 * (5-0) * (3-(-2)) = 12.5.
Теперь мы можем вычислить площадь конечной области, исключая треугольник BCD:
P(конечная область) = P(прямоугольник ABCDE) - P(треугольник BCD) = 15 - 12.5 = 2.5.
5. И, наконец, мы можем найти вероятность, что точка, брошенная внутри прямоугольника ABCDE, будет находиться в конечной области.
Вероятность того, что точка попадет в конечную область, равна отношению площади конечной области к площади всего прямоугольника:
Вероятность = P(конечная область) / P(прямоугольник ABCDE) = 2.5 / 15 = 1/6.
Таким образом, вероятность того, что координаты (x,y) точки, брошенной случайным образом внутри прямоугольника ABCDE, будут удовлетворять неравенствам x^2 ⩽ y ⩽ 2-x, равна 1/6.
