ДАНО: 
- функция, r = 4 - окружность,
НАЙТИ: Площадь фигуры вне окружности.²
Пошаговое объяснение - решение силой Разума.
Мысль 1. Задача в полярных координатах. Построение графика без использования дополнительных средств весьма затратно.
Рисунок с графиком функции при расчёте через 10° в приложении.
Мысль 2. Площадь фигуры - разность площадей функции и окружности с r= 4.
Мысль 3. Площадь окружности по формуле: S1 = π*r² = 16π - (запоминаем - потом надо вычесть).
Мысль 4. Площадь ограниченная функцией по формуле:
Пределы интегрирования от а = 0, до b = 2π - запоминаем.
Мысль 5. Вычисляем значение R(α)²
R(α)² = 16*(1 + sin²2α).
Коэффициент 16 выносим из под интеграла и приступаем собственно к интегрированию.
Делаем подстановку - sin²x = (1-cos2x)/2 и получаем новый интеграл.
В результате получили функцию площади .
Вычисляем на границах интегрирования.
S2(2π) = 8*3π = 24π и S2(0) = 0 и
S2 - 24*π - площадь функции.
И переходим к ответу - вычитаем площадь центрального круга.
S = S2 - S1 = 24*π - 16*π = 8π (ед.²) - площадь фигуры - ответ.
Сюжет. В основу картины легла сказка «Снежная королева.» Но «Холодное сердце» похоже на нее лишь идеей. Сюжетная линия, а также главные герои совершенно другие. Нам расскажут историю двух сестер, которым придется столкнуться со страшным проклятием. Эльза (старшая сестра) не смогла совладать со своей магической силой и в результате превратилась в Снежную королеву, а в королевстве настала вечная зима. Теперь младшей сестре Анне предстоит найти сбежавшую волшебницу, чтобы та смогла все исправить. А в этом ей будут альпинист Кристофф, его ручной олень Свен и забавный снеговик Олаф, которого сестры слепили в далеком детстве…
Атмосфера. Сказочная, волшебная, фэнтэзийная и добрая семейная комедия абсолютно точно не даст вам заскучать. Приключенческий дух вам окончательно погрузиться в мир по другую сторону экрана, и не успеете вы прийти в себя, как уже будут идти финальные титры. К концу просмотра количество положительных эмоций во мне превысило всякие допустимые пределы и я окончательно влюбился в этот мультфильм. Чего и вам искренне желаю.
Юмор. Великолепно проработанные шутки и смешные моменты здесь присутствуют на протяжении всего времени, а их число просто зашкаливает. При этом юмор очень душевный, изящный и качественный во всех смыслах. Снеговик Олаф понравился мне больше всего. Он здесь представлен как невероятный оптимист, не унывающий ни при каких обстоятельствах.
Музыка. Музыкальные моменты невероятно сильные и чувственные. Они до такой степени прекрасны, что входят теперь в число моих самых любимых наравне с мюзиклами из мультфильмов «Король лев» и «Мулан.» Первые минут 40 мультика вообще божественны в музыкальном плане, а момент с песней «Отпусти и забудь» (в оригинале — «Let it go») до такой степени классный, что по мне даже мурашки пробежали во время сеанса. Следующим мультипликационным фильмам, которые выйдут вслед за «Холодным сердцем», есть на что ровняться.
Итог. У меня нет слов, чтобы описать, в каком я пребываю восторге… Интересный, задорный, красочный и смешной мультфильм о том, какую огромную роль играют наши чувства в жизни. Если вы хотите поскорей почувствовать новогоднее настроение, если хотите ощутить частичку тепла и подарить ее близким, если хотите прекрасно провести время — бегом в кинотеатры. Берите с собой всю семью, любимого человека или друзей (а можно и всех сразу) и вперед! Пропустить такой шедевр — настоящее преступление!