Question

Докажите, что перпендикуляры, проведённые из любой точки биссектрисы угла по отношению к его сторонам, вырезают на них
равные  oтрезки

Answer 1

Для доказательства этого утверждения, мы можем воспользоваться свойством биссектрисы угла и свойством перпендикуляров.

Предположим, у нас есть треугольник ABC, где BD является биссектрисой угла BAC. Мы хотим доказать, что отрезки AD и CD, проведенные из точки D (любой точки на биссектрисе), являются перпендикулярами к соответствующим сторонам треугольника ABC.

Шаг 1: Докажем, что угол ADB равен углу CDB.
- Известно, что угол ABD является половиной угла BAC (свойство биссектрисы).
- Также, угол CBD является половиной угла BCA (свойство биссектрисы).
- Учитывая, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, угол B равен сумме углов ABD и BAC, а также сумме углов CBD и BCA.
- Значит, угол ADB равен углу CDB.

Шаг 2: Докажем, что отрезки AD и CD являются перпендикулярами к соответствующим сторонам треугольника ABC.
- Рассмотрим сторону AB треугольника ABC.
- Рассмотрим угол BAC и проведем перпендикуляр AD к стороне AB.
- Тогда, по теореме о перпендикулярности, угол ADB будет прямым (90 градусов).
- Аналогично, рассмотрим сторону BC треугольника ABC.
- Рассмотрим угол BCA и проведем перпендикуляр CD к стороне BC.
- Тогда, по теореме о перпендикулярности, угол CDB будет прямым (90 градусов).

Таким образом, мы доказали, что перпендикуляры, проведенные из любой точки биссектрисы угла по отношению к его сторонам, вырезают на них равные отрезки.