Question

задачки на вероятность( После изготовления 9 одинаковых деталей проходят проверку на соответствие качеству. Вероятность брака для каждой детали одинакова и равна 0,7. Найти вероятность то, что:
1) При проверке окажется ровно 5 качественных деталей;
2) Найти наивероятнейшее количество бракованных деталей из 9 проверенных.

Answer 1

Пусть проводится $n = 9$ одинаковых испытаний, в каждом из которых то самое событие $A$ — бракованная деталь — происходит с одинаковой вероятностью $P(A) = p = 0,7$ и не происходит с одинаковой вероятностью $P(\overline{A}) = q = 1 - p = 0,3.$ Такую совокупность условий называют схемой Бернулли с параметрами $n, ~ A, ~ p, ~ q.$

1) Если при проверке окажется ровно 5 качественных деталей, то будет 4 бракованных деталей;

Вероятность того, что в схеме Бернулли событие $A$ произойдет ровно $k = 4,$ обозначают $P_{n}(k).$

Воспользуемся теоремой Бернулли: в схеме Бернулли с параметрами $n, ~ A, ~ p, ~ q$ справедливо равенство $P_{n}(k) = C^{k}_{n} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}.$ Это равенство называют формулой Бернулли.

Имеем:

$P_{9}(4) = C^{4}_{9} \cdot (0,7)^{4} \cdot (0,3)^{9-4} \approx 0,074.$

2) Частота $m_{0}$ наступления события $A$ в $n=9$ независимых повторных испытаниях называется наивероятнейшим количеством (появления этого события), если ей соответствует наибольшая вероятность. Оно определяется по формуле:

$np - q \leq m_{0} \leq np + p, ~ m_{0} \in \mathbb{Z}$

$9 \cdot 0,7 - 0,3 \leq m_{0} \leq 9 \cdot 0,7 + 0,7, ~ m_{0} \in \mathbb{Z}$

$6 \leq m_{0} \leq 7, ~ m_{0} \in \mathbb{Z}$

Таким образом, $m_{0} = 6$ или $m_{0} = 7.$

ответ: 1) 0,074; 2) 6 или 7.