. Назовите основное логарифмическое тождество. 12. Какая функция называется логарифмической? Назовите её область определения.

13. Когда логарифмическая функция убывает, когда возрастает на всей области определения?

14.Какие методы решения логарифмических уравнений вы знаете?

15.На каком свойстве основано решение логарифмических неравенств?

👇

Ответ:

aboderu

06.12.2021

12) Функция вида y = loga х (где а > 0, а ≠ 1) называется логарифмической.

13) y = loga x. Логарифмическая функция непрерывна и строго возрастает (если основание a > 1) или строго убывает (если 0 < a < 1) на всей области определения.

14) Метод потенцирования

Применение основного логарифмического тождества

Метод введения новой переменной

Метод логарифмирования

15) Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.

Пошаговое объяснение:

4,5(20 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

vladacherry2003

06.12.2021

1) (xy-x²)y'-y²=0
Перед нами однородное уравнение. Проверяется просто. В исходное уравнение вместо х подставляем $\lambda x$ , вместо у подставляем $\lambda y$ , производную не трогаем.
$(xy-x^2)y'-y^2 = (\lambda x * \lambda y - (\lambda x)^2)*y' - (\lambda y)^2 = \\ \\ = \lambda ^2 ((xy-x^2)y'-y^2) = 0$
Как видим, лямбда сокращается, следовательно дифференциальное уравнение однородное.
Решается уравнение заменой: y(x) = t(x) * x, или сокращённо y = tx. Т.к. функция t(x) зависит от икс, то производная как от сложной функции:
y' = t' * x + t
Вот это и подставляем в исходное уравнение и решаем:
$(xy-x^2)y'-y^2 = 0 \\ \\ (x*t*x - x^2)*(t'*x+t) -t^2*x^2= 0 \\ \\ x^2(t-1)*(t'*x+t)=t^2*x^2 \\ \\ (t-1)*(t'*x+t)=t^2 \\ \\ t'tx+t^2-t'x-t=t^2 \\ \\ t'x(t-1) = t \\ \\ \frac{t-1}{t} t' = \frac{1}{x} \\ \\ \frac{t-1}{t} dt = \frac{dx}{x} \\ \\ \int\limits {\frac{t-1}{t} } \, dt = \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx \\ \\ \int\limits {(1 -\frac{1}{t}) } \, dt = \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx \\ \\ t - lnt = lnx + lnC \\ \\ \frac{y}{x} - ln \frac{y}{x} = lnCx$
Сделали обратную замену t = y/x, а решение лучше оставить в таком виде, как получилось

2. $y' = \frac{xy}{x^2-y^2}$
Однородность диффура проверяется аналогично предыдущему. Подстановка тоже аналогична.
$y' = \frac{xy}{x^2-y^2} \\ \\ t'x + t = \frac{tx^2}{x^2-t^2x^2} = \frac{t}{1-t^2} \\ \\ t'x + t -\frac{t}{1-t^2} = 0 \\ \\ t'x + \frac{t-t^3-t}{1-t^2} =t'x - \frac{t^3}{1-t^2} = 0 \\ \\ t'x = \frac{t^3}{1-t^2} \:\:\:\:\:\:\:\: \frac{1-t^2}{t^3} t' = \frac{1}{x} \\ \\ \frac{1-t^2}{t^3} dt = \frac{dx}{x} \\ \\ \int\limits {\frac{1-t^2}{t^3}} \, dt = \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx \\ \\ \int\limits {(t^{-3}- \frac{1}{t})} \, dt = \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx$
$\\ \\ - \frac{1}{2} t^{-2} -lnt = lnx+lnC \\ \\ - \frac{1}{2} \frac{x^2}{y^2} - ln \frac{y}{x} = lnCx$

3) xy'-2y=x+1
Линейное уравнение решается подстановкой y(x) = u(x)*v(x), или сокращённо y = u*v. Производная равна y' = u'*v + u*v'.
Делаем замену и решаем.
$xy'-2y=x+1 \\ \\ y' - \frac{2y}{x} = \frac{x+1}{x} \\ \\ u'*v + u*v' - \frac{2u*v}{x} =\frac{x+1}{x} \\ \\ u'*v + u*(v' - \frac{2v}{x}) =\frac{x+1}{x} \\ \\ \\ 1) \:\: v'- \frac{2v}{x} = 0 \\ 2) \:\: u'*v = \frac{x+1}{x}$
Составляем систему уравнений (см. выше). Сначала решается первое.
$1) \:\: v'- \frac{2v}{x} = 0 \:\: \: \:\: v' = \frac{2v}{x} \\ \\ \frac{v'}{v} =\frac{2}{x} \:\: \: \:\: \frac{dv}{v} = \frac{2dx}{x} \\ \\ \int\limits { \frac{1}{v} } \, dv = \int\limits { \frac{2}{x} } \, dx \\ \\ lnv = 2lnx \:\: \: \:\: v = x^2$
Полученное решение подставляем во второе уравнение и решаем его:
$u'*v = \frac{x+1}{x} \\ \\ u'*x^2 =\frac{x+1}{x} \\ \\ u' = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2} \\ \\ du = (x^{-2}+ x^{-3})dx \\ \\ \int\limits {} \, du = \int\limits {(x^{-2}+ x^{-3})} \, dx \\ \\ u = - \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} +C$
Собираем решения:
$y = u*v = (- \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} +C) * x^2 = -x -2 +Cx^2$

$4) \:\:\:\: y'cos^2x+y = tgx$
Решается аналогично предыдущему.
$y'cos^2x+y = tgx \\ \\ y' + \frac{y}{cos^2x} = \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ u'v+uv'+\frac{uv}{cos^2x} = \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ u'v+u(v'+\frac{v}{cos^2x}) = \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ \\ 1) \:\:\: v'+\frac{v}{cos^2x} = 0 \\ \\ 2) \:\:\: u'v = \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ \\ v'+\frac{v}{cos^2x} = 0 \:\:\:\:\:\: v' = - \frac{v}{cos^2x} \\ \\ \frac{dv}{v} = - \frac{dx}{cos^2x} \\ \\ lnv = -tgx \\ \\ v = e^{-tgx} \\ \\ \\ u'v = \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ u'e^{-tgx} = \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\$
$u' = e^{tgx} * \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ u = \int\limits {e^{tgx}*\frac{tgx}{cos^2x}} \, dx \:\:\:\:\:\: [t=tgx; \:\:\:\:\:\: dt = \frac{dx}{cos^2x}] \\ \\ u = \int\limits {e^{t}* t} \, dt = e^t *t - \int\limits {e^t} \, dt = e^t*t - e^t = e^t*(t-1) +C = \\ \\ \\ f = t; \:\:\:\:\:\: df = dt; \:\:\:\:\:\: dg = e^t dt; \:\:\:\:\:\: g = e^t \\ \\ \\ = e^{tgx}(tgx-1) + C$
Собираем решения:
$y = uv = (e^{tgx}(tgx-1) + C) * e^{-tgx} = C*e^{-tgx} + tgx - 1$

22

4,6(33 оценок)

Ответ:

Sausage2281

06.12.2021

1)Поле шахматной доски Кол-во квадратов каждого размера является квадратом целого числа. числоквадратов 4х4 равно 25, квадратов3х3 всего 36, а квадратов 2х2 всего 49. Таким образом, на шахматной доске всего 1+4+9+16+25+36+49+64=204 квадратов .
2) эээ, некорректно задан вопрос
3) одна нога
4)108 минут
5) От верхушек и боковыхответвлений корневища отходятпобеги, состоящие из 3—6 влагалищных листьев.
6) по пять глаз, так же и у пчелы
7) из 5
8) 3 цвета
9) девять звуков [рас'эй'аный']
10) если не ошибаюсь , то 5 основных, но на самом деле это не так )

4,8(32 оценок)

Это интересно:

Питомцы-и-животные

06.06.2020

Как приучить собаку к выгулу: советы от профессионалов...

Стиль-и-уход-за-собой

28.08.2020

Как правильно расчесывать волосы: события волосистой жизни...

Здоровье

02.05.2020

Не мучайтесь болью: Как эффективно и безопасно растворить камни в почках...

Образование-и-коммуникации