Добрый день! Давайте решим вашу задачу по нахождению уравнений касательных и нормалей к параболе y = 2x^2+1 в точках с абсциссами x_1= -1, x_2 = 0 и x_3 = 1.
1. Наша задача состоит в нахождении уравнения касательной и уравнения нормали в каждой из указанных точек на параболе.
2. Для начала найдем производную функции y = 2x^2 + 1. Для этого нужно дифференцировать каждый член функции по отдельности:
y' = d(2x^2)/dx + d(1)/dx = 4x.
3. Теперь найдем значение производной в каждой из трех точек:
- В точке x_1 = -1:
y'(x_1) = 4 * (-1) = -4.
- В точке x_2 = 0:
y'(x_2) = 4 * 0 = 0.
- В точке x_3 = 1:
y'(x_3) = 4 * 1 = 4.
4. Теперь у нас есть значения производной в каждой из трех точек. Найдем уравнения касательных и нормалей для каждой точки.
- В точке x_1 = -1:
а) Уравнение касательной:
Так как значение производной в этой точке равно -4, то уравнение касательной будет иметь вид:
y - y_1 = y'(x_1) * (x - x_1),
где (x_1, y_1) - координаты точки, в которой требуется найти уравнение. В нашем случае (x_1, y_1) = (-1, 2 * (-1)^2 + 1) = (-1, 3).
Подставим значения в формулу:
y - 3 = -4 * (x + 1).
б) Уравнение нормали:
Уравнение нормали будет перпендикулярно уравнению касательной, поэтому угловой коэффициент нормали будет -1/уравнение коэффициент касательной.
Тогда уравнение нормали будет иметь вид:
y - y_1 = -1/y'(x_1) * (x - x_1).
Подставим значения:
y - 3 = -1/(-4) * (x + 1).
- В точке x_2 = 0:
а) Уравнение касательной:
Так как значение производной в точке x_2 = 0 равно 0, то уравнение касательной будет горизонтальной прямой.
Также можно определить, что касательная проходит через точку (0, 1), так как при x = 0 значение функции y равно 1.
Поэтому уравнение касательной будет иметь вид y = y_1.
б) Уравнение нормали:
Так как уравнение касательной горизонтально, угловой коэффициент нормали будет бесконечность.
Тогда уравнение нормали будет вертикальной прямой с заданной абсциссой x = x_2.
- В точке x_3 = 1:
а) Уравнение касательной:
Так как значение производной в этой точке равно 4, то уравнение касательной будет иметь вид:
y - y_1 = y'(x_1) * (x - x_1),
где (x_1, y_1) - координаты точки, в которой нужно найти уравнение.
Подставим значения в формулу:
y - 5 = 4 * (x - 1).
б) Уравнение нормали:
Уравнение нормали будет перпендикулярно уравнению касательной, поэтому угловой коэффициент нормали будет -1/уравнение коэффициент касательной.
Тогда уравнение нормали будет иметь вид:
y - y_1 = -1/y'(x_3) * (x - x_3).
Подставим значения:
y - 5 = -1/4 * (x - 1).
Таким образом, мы нашли уравнения касательных и нормалей к параболе y = 2x^2 + 1 в точках x_1 = -1, x_2 = 0 и x_3 = 1.
1. Наша задача состоит в нахождении уравнения касательной и уравнения нормали в каждой из указанных точек на параболе.
2. Для начала найдем производную функции y = 2x^2 + 1. Для этого нужно дифференцировать каждый член функции по отдельности:
y' = d(2x^2)/dx + d(1)/dx = 4x.
3. Теперь найдем значение производной в каждой из трех точек:
- В точке x_1 = -1:
y'(x_1) = 4 * (-1) = -4.
- В точке x_2 = 0:
y'(x_2) = 4 * 0 = 0.
- В точке x_3 = 1:
y'(x_3) = 4 * 1 = 4.
4. Теперь у нас есть значения производной в каждой из трех точек. Найдем уравнения касательных и нормалей для каждой точки.
- В точке x_1 = -1:
а) Уравнение касательной:
Так как значение производной в этой точке равно -4, то уравнение касательной будет иметь вид:
y - y_1 = y'(x_1) * (x - x_1),
где (x_1, y_1) - координаты точки, в которой требуется найти уравнение. В нашем случае (x_1, y_1) = (-1, 2 * (-1)^2 + 1) = (-1, 3).
Подставим значения в формулу:
y - 3 = -4 * (x + 1).
б) Уравнение нормали:
Уравнение нормали будет перпендикулярно уравнению касательной, поэтому угловой коэффициент нормали будет -1/уравнение коэффициент касательной.
Тогда уравнение нормали будет иметь вид:
y - y_1 = -1/y'(x_1) * (x - x_1).
Подставим значения:
y - 3 = -1/(-4) * (x + 1).
- В точке x_2 = 0:
а) Уравнение касательной:
Так как значение производной в точке x_2 = 0 равно 0, то уравнение касательной будет горизонтальной прямой.
Также можно определить, что касательная проходит через точку (0, 1), так как при x = 0 значение функции y равно 1.
Поэтому уравнение касательной будет иметь вид y = y_1.
б) Уравнение нормали:
Так как уравнение касательной горизонтально, угловой коэффициент нормали будет бесконечность.
Тогда уравнение нормали будет вертикальной прямой с заданной абсциссой x = x_2.
- В точке x_3 = 1:
а) Уравнение касательной:
Так как значение производной в этой точке равно 4, то уравнение касательной будет иметь вид:
y - y_1 = y'(x_1) * (x - x_1),
где (x_1, y_1) - координаты точки, в которой нужно найти уравнение.
Подставим значения в формулу:
y - 5 = 4 * (x - 1).
б) Уравнение нормали:
Уравнение нормали будет перпендикулярно уравнению касательной, поэтому угловой коэффициент нормали будет -1/уравнение коэффициент касательной.
Тогда уравнение нормали будет иметь вид:
y - y_1 = -1/y'(x_3) * (x - x_3).
Подставим значения:
y - 5 = -1/4 * (x - 1).
Таким образом, мы нашли уравнения касательных и нормалей к параболе y = 2x^2 + 1 в точках x_1 = -1, x_2 = 0 и x_3 = 1.