Question

Реши уравнение (x + 1)4 + 3(x + 1)2 – 4 = 0 используя замену (x + 1)2 = y. Найди сумму корней уравнения.​

Answer 1

Хорошо, давайте решим поставленное уравнение пошагово, объяснив каждый шаг и обосновав ответ.

1. Решим уравнение (x + 1)4 + 3(x + 1)2 – 4 = 0 используя замену (x + 1)2 = y.

Для начала, давайте заменим (x + 1)2 на y в уравнении. Поэтому, уравнение примет вид:
y2 + 3y - 4 = 0.

2. Теперь решим уравнение y2 + 3y - 4 = 0.

Мы видим, что это квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, поэтому мы можем решить его, используя квадратное уравнение.

Используем метод факторизации:
(y - 1)(y + 4) = 0.

3. Разобъем уравнение на два уравнения:
y - 1 = 0 и y + 4 = 0.

Решим каждое уравнение отдельно:

- Для уравнения y - 1 = 0, прибавим 1 к обеим сторонам:
y = 1.

- Для уравнения y + 4 = 0, вычтем 4 из обеих сторон:
y = -4.

4. Теперь найдем значения x, используя обратную замену (x + 1)2 = y.

- Для y = 1, подставим обратно в выражение (x + 1)2 = y:
(x + 1)2 = 1.

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:
x + 1 = ±√1.

- Для y = -4, подставим обратно в выражение (x + 1)2 = y:
(x + 1)2 = -4.

Здесь мы видим, что результат -4 не имеет действительных корней, поскольку квадрат никогда не может быть отрицательным для вещественных чисел.

5. Решим полученные уравнения:
- Для x + 1 = √1, вычтем 1 из обеих сторон:
x = √1 - 1.

- Для x + 1 = -√1, вычтем 1 из обеих сторон:
x = -√1 - 1.

6. Найдем сумму корней уравнения.

Мы получили два значения x: √1 - 1 и -√1 - 1. Чтобы найти их сумму, мы складываем эти значения:
x + x = (√1 - 1) + (-√1 - 1)
= -1 + (-1)
= -2.

Итак, сумма корней уравнения (x + 1)4 + 3(x + 1)2 – 4 = 0 при использовании замены (x + 1)2 = y равна -2.