Question

Дан треугольник ABC: A(1,5), B(4,3), C(2,9). написать уравнение перпендикуляра опущенного из вершины C на биссектрису внутреннего угла при вершине A и найти растояние точки C до этой биссектриссы.

Answer 1

Для начала определим уравнение биссектрисы внутреннего угла при вершине A.

1. Найдем координаты точки D, лежащей на отрезке BC, такой что AD - биссектриса угла BAC.
Т.к. AD делит угол BAC пополам, то отношение длин отрезков BD и DC будет одинаковым.
Запишем формулу для нахождения координат точки D:
xD = (xB + xC) / 2
yD = (yB + yC) / 2

Подставим известные значения координат точек B и C:
xD = (4 + 2) / 2 = 3
yD = (3 + 9) / 2 = 6

Таким образом, координаты точки D равны D(3,6).

2. Теперь определим уравнение прямой AD. Для этого нам понадобится найти ее угловой коэффициент.
Коэффициент k выражается формулой:
k = (yD - yA) / (xD - xA)

Подставим известные значения:
k = (6 - 5) / (3 - 1) = 1 / 2

Теперь у нас есть значение углового коэффициента, и мы можем записать уравнение прямой AD, используя формулу:
y - yA = k(x - xA)

Подставим известные значения:
y - 5 = (1 / 2)(x - 1)
y - 5 = (1 / 2)x - 1 / 2
y = (1 / 2)x + 9 / 2

Таким образом, уравнение биссектрисы угла BAC имеет вид y = (1 / 2)x + 9 / 2.

3. Теперь найдем уравнение прямой, перпендикулярной биссектрисе угла BAC, и проходящей через точку C.
Для этого мы знаем, что перпендикулярная прямая имеет противоположный угловой коэффициент к обратному к угловому коэффициенту биссектрисы.
Угловой коэффициент биссектрисы равен 1 / 2, поэтому угловой коэффициент перпендикуляра будет -2.
Теперь мы можем записать уравнение перпендикуляра, используя формулу:
y - yC = -2(x - xC)

Подставим известные значения:
y - 9 = -2(x - 2)
y - 9 = -2x + 4
y = -2x + 13

Таким образом, уравнение перпендикуляра опущенного из точки C на биссектрису угла BAC имеет вид y = -2x + 13.

4. Найдем расстояние между точкой C и биссектрисой угла BAC.
Для этого мы можем воспользоваться формулой для расстояния между точками и прямой.
Формула имеет вид:
d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2)

Где A, B и C - коэффициенты уравнения прямой, а x и y - координаты точки.
В нашем случае уравнение биссектрисы угла BAC имеет вид: y = (1 / 2)x + 9 / 2.
Перепишем его в уравнении общего вида: x - 2y + 9 = 0.

Теперь мы можем записать формулу для расстояния:
d = |xC - 2yC + 9| / sqrt(1^2 + (-2)^2)

Подставим известные значения:
d = |2 - 2(9) + 9| / sqrt(1 + 4)
d = |2 - 18 + 9| / sqrt(5)
d = |-7| / sqrt(5)
d = 7 / sqrt(5)

Таким образом, расстояние между точкой C и биссектрисой угла BAC равно 7 / sqrt(5).

Вот, пожалуйста, подробное решение с обоснованием для данного вопроса.