Question

Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования:

Answer 1

Формула:

$y' = ( ln(y))' \times y$

$( ln(y))' = ( ln( \frac{ {( {x}^{5} + 1)}^{3} \times {(1 + {x}^{8} )}^{ \frac{3}{5} } }{6 {x}^{15} } )' = \\ = ( ln( {( {x}^{5} + 1) }^{3} + ln( {(1 + {x}^{8} )}^{ \frac{3}{5} } ) - ln(6 {x}^{15} ) )' = \\ = \frac{3}{ {x}^{5} + 1} \times 5 {x}^{4} + \frac{3}{5(1 + {x}^{8}) } \times 8 {x}^{7} - \frac{15 {x}^{14} }{6 {x}^{15} } = \\ = \frac{5 {x}^{4} }{ {x}^{5} + 1} + \frac{24 {x}^{7} }{5(1 + {x}^{8}) } - \ \frac{5}{2x} = \\ = \frac{5 {x}^{4} \times 5(1 + {x}^{8}) \times 2x + 24 {x}^{7} ( {x}^{5} + 1) \times 2x - 25(1 + {x}^{8} )( {x}^{5} + 1) }{10x ({x}^{5} + 1)(1 + {x}^{8} )} = \\ = \frac{73 {x}^{13} + 23 {x}^{8} + 25 {x}^{5} - 25 }{10x( {x}^{5} + 1)( {x}^{8} + 1) }$

$y' = \frac{73 {x}^{13} + 23 {x}^{8} + 25 {x}^{5} - 25 }{10x( {x}^{5} + 1)( {x}^{8} + 1) } \times \frac{ {( {x}^{5} + 1) }^{3} {(1 + {x}^{8}) }^{ \frac{3}{5} } }{6 {x}^{15} } = \\ = \frac{(73 {x}^{13} + 23 {x}^{8} + 25 {x}^{5} - 25) {( {x}^{5} + 1)}^{2} }{60 {x}^{16} \sqrt[5]{ {( {x}^{8} + 1)}^{2} } }$