1. Запиши окрестность точки a радиуса r в виде интервала, если: a=2 и r=0,7.
2. Вычисли limn→∞xn, если xn=9⋅2−n.
3. Вычисли limn→∞xn, если xn=4n+2n+1.
4. Найди номер n того члена последовательности (xn), начиная с которого все члены последовательности попадут в окрестность точки a радиуса r:
xn=16n, a=0, r=0,05.
5. Существует ли номер n0, начиная с которого все члены последовательности (xn) принадлежат окрестности точки a=0 радиуса r, если:
xn=−6n и r=0,1.
6. Вычисли limn→∞xn, если xn=8+8n+7n2n2.
7. Найди предел последовательности: xn=(3−n)(n2+11)+n3n2+10n.
1. Запишем окрестность точки a=2 радиуса r=0,7 в виде интервала:
Окрестность точки a радиуса r представляет собой интервал (a - r, a + r). В данном случае a = 2 и r = 0,7.
Подставим значения в формулу: (2 - 0,7, 2 + 0,7)
Упростим: (1,3, 2,7)
Ответ: Окрестность точки a=2 радиуса r=0,7 записывается в виде интервала (1,3, 2,7).
2. Вычислим предел limn→∞ xn, если xn = 9⋅2^(-n):
Предел представляет собой значение, к которому стремится последовательность xn при n → ∞.
В данном случае xn = 9⋅2^(-n).
Подставим n = ∞ в выражение xn: 9⋅2^(-∞).
Поскольку 2^(-∞) стремится к 0, предел равен 9⋅0 = 0.
Ответ: Предел последовательности xn = 9⋅2^(-n) при n → ∞ равен 0.
3. Вычислим предел limn→∞ xn, если xn = 4n + 2n + 1:
В данном случае xn = 4n + 2n + 1.
Подставим n = ∞ в выражение xn: 4∞ + 2∞ + 1.
Поскольку при n → ∞ соответствующие члены последовательности стремятся к бесконечности, предел такого выражения не существует.
Ответ: Предел последовательности xn = 4n + 2n + 1 при n → ∞ не существует.
4. Найдем номер n того члена последовательности (xn), начиная с которого все члены попадут в окрестность точки a радиуса r:
В данном случае xn = 16n, a = 0, r = 0,05.
Подставим значения в выражение xn: xn = 16n.
Для того чтобы xn попал в окрестность а радиуса r, его разница с а должна быть меньше r: |16n - 0| < 0,05.
Упростим неравенство: 16n < 0,05.
Разделим обе части неравенства на 16: n < 0,05/16.
Вычисляем: n < 0,003125.
Таким образом, начиная с n = 0,003125 (округляем в большую сторону) все члены последовательности будут попадать в окрестность точки a радиуса r.
Ответ: Номер n, начиная с которого все члены последовательности (xn) попадут в окрестность точки a=0 радиуса r=0,05, равен 1.
5. Проверим, существует ли номер n0, начиная с которого все члены последовательности (xn) принадлежат окрестности точки a=0 радиуса r=0,1:
В данном случае xn = -6n и r = 0,1.
Подставим значения в выражение xn: xn = -6n.
Для того чтобы xn попал в окрестность а радиуса r, его разница с а должна быть меньше r: |-6n - 0| < 0,1.
Упростим неравенство: 6n < 0,1.
Разделим обе части неравенства на 6: n < 0,1/6.
Вычисляем: n < 0,0166667.
Таким образом, начиная с n = 0,0166667 (округляем в большую сторону) все члены последовательности будут попадать в окрестность точки a радиуса r.
Ответ: Номер n0, начиная с которого все члены последовательности (xn) принадлежат окрестности точки a=0 радиуса r=0,1, равен 1.
6. Вычислим предел limn→∞ xn, если xn = 8 + 8n + 7n^2/2^n:
В данном случае xn = 8 + 8n + 7n^2/2^n.
Подставим n = ∞ в выражение xn: 8 + 8∞ + 7∞^2/2^∞.
Поскольку ∞^2 и 2^∞ стремятся к бесконечности, а ∞ стремится к бесконечности быстрее, предел равен бесконечности.
Ответ: Предел последовательности xn = 8 + 8n + 7n^2/2^n при n → ∞ равен бесконечности.
7. Найдем предел последовательности xn = (3 - n)(n^2 + 11) + n^3/n^2 + 10n:
Предел последовательности можно найти, упростив выражение:
xn = (3 - n)(n^2 + 11) + n^3/n^2 + 10n = (3n^2 + 33 - n^3 - 11n) + n^3/n^2 + 10n.
Упрощаем выражение, сокращая некоторые слагаемые: (3n^2 + 33) + 10n.
Выносим общий множитель из каждого слагаемого: n(3n + 10) + 33.
Поскольку каждое слагаемое содержит множитель n, а n стремится к бесконечности, предел равен бесконечности.
Ответ: Предел последовательности xn = (3 - n)(n^2 + 11) + n^3/n^2 + 10n при n → ∞ равен бесконечности.