Случайные величины X и Y независимы. Случайная величина X распределена по закону Пуассона с параметром лямбда=5, а случайная величина Y распределена по биномиальному закону с параметрами n=10 и p=0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=3X-5Y
1. Математическое ожидание случайной величины Z:
Математическое ожидание случайной величины Z обозначается E(Z) и находится по формуле:
E(Z) = 3 * E(X) - 5 * E(Y)
2. Дисперсия случайной величины Z:
Дисперсия случайной величины Z обозначается Var(Z) и находится по формуле:
Var(Z) = 9 * Var(X) + 25 * Var(Y) - 30 * Cov(X, Y)
Для решения данной задачи необходимо найти E(X), E(Y), Var(X), Var(Y) и Cov(X, Y).
Для случайной величины X, распределенной по закону Пуассона с параметром λ=5, математическое ожидание равно параметру:
E(X) = λ = 5
Для случайной величины Y, распределенной по биномиальному закону с параметрами n=10 и p=0,4, математическое ожидание равно произведению параметра n на вероятность успеха p:
E(Y) = n * p = 10 * 0,4 = 4
Для случайной величины X, распределенной по закону Пуассона с параметром λ=5, дисперсия также равна параметру:
Var(X) = λ = 5
Для случайной величины Y, распределенной по биномиальному закону с параметрами n=10 и p=0,4, дисперсия равна произведению параметра n на вероятность неудачи (1-p):
Var(Y) = n * (1-p) = 10 * (1-0,4) = 6
Теперь необходимо найти Cov(X, Y) - ковариацию между случайными величинами X и Y.
Ковариация Cov(X, Y) может быть найдена по формуле:
Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
1) Найдем E(XY):
E(XY) = ∑∑(xy) * P(X=x, Y=y)
Для нас важно знать, как распределена случайная величина X:
P(X=x) = (e^(-λ) * λ^x) / x!
А также распределение случайной величины Y:
P(Y=y) = C(n, y) * p^y * (1-p)^(n-y)
Теперь можем перейти к подсчету E(XY):
E(XY) = ∑∑(xy) * P(X=x, Y=y) = ∑∑(xy) * P(X=x) * P(Y=y)
2) Теперь воспользуемся уже известными значениями и подсчитаем Cov(X, Y):
E(XY) = ∑∑(xy) * P(X=x) * P(Y=y) = ∑∑(xy) * ((e^(-λ) * λ^x) / x!) * (C(n, y) * p^y * (1-p)^(n-y))
Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
После нахождения Cov(X, Y), мы можем подставить все полученные значения в формулы для нахождения математического ожидания и дисперсии случайной величины Z:
E(Z) = 3 * E(X) - 5 * E(Y)
Var(Z) = 9 * Var(X) + 25 * Var(Y) - 30 * Cov(X, Y)
Вычислив все значения, мы найдем конечные результаты.