Уравнение окружности: x2+y2=49. Уравнение прямой: y=b.
Найди значения b, с которыми...
(В ответе каждого пункта в первое и четвёртое окошки вводи необходимые знаки =, ; в третье окошко вводи необходимое слово и, или; во второе и пятое окошки вводи числовые значения b, соблюдая направление числовой оси слева направо.)
1. ...прямая имеет одну общую точку с окружностью
b
b
;
2. ...прямая имеет две общие точки с окружностью
b
b
;
3. ...прямая не имеет общих точек с окружностью
b
b
.
1. Прямая имеет одну общую точку с окружностью:
Для этого случая, необходимо определить b таким образом, чтобы система уравнений имела только одно решение. Перепишем уравнения в системе:
x^2 + y^2 = 49 (уравнение окружности)
y = b (уравнение прямой)
Подставим уравнение прямой в уравнение окружности:
x^2 + b^2 = 49
Теперь решим полученное уравнение относительно b:
b^2 = 49 - x^2
b = √(49 - x^2) или b = -√(49 - x^2)
Таким образом, уравнение прямой имеет одну общую точку с окружностью для любого значеия x, при условии, что b = √(49 - x^2) или b = -√(49 - x^2).
2. Прямая имеет две общие точки с окружностью:
Для этого случая, необходимо определить b таким образом, чтобы система уравнений имела два решения. Перепишем уравнения в системе:
x^2 + y^2 = 49 (уравнение окружности)
y = b (уравнение прямой)
Подставим уравнение прямой в уравнение окружности:
x^2 + b^2 = 49
Теперь решим полученное уравнение относительно b:
b^2 = 49 - x^2
Так как мы хотим найти значения b, при которых уравнение имеет два решения, то нам нужно, чтобы выражение под корнем было положительным числом.
49 - x^2 > 0
Решим это неравенство:
x^2 < 49
-7 < x < 7
Таким образом, значения b, при которых уравнение прямой имеет две общие точки с окружностью, будут все вещественные числа, так как каждое значение x из интервала (-7, 7) даст два различных значения b.
3. Прямая не имеет общих точек с окружностью:
Для этого случая, прямая y = b должна полностью лежать вне окружности. То есть, прямая не должна пересекать окружность вообще.
Так как уравнение окружности имеет радиус 7 (так как x^2 + y^2 = 49, а 49 = 7^2), то прямая y = b должна быть расположена на расстоянии больше 7 от точки (0, 0), чтобы она не пересекала окружность.
Таким образом, значения b, при которых уравнение прямой не имеет общих точек с окружностью, будут все значения b, для которых |b| > 7.
В итоге получаем ответы на поставленные вопросы:
1. ...прямая имеет одну общую точку с окружностью:
b = √(49 - x^2) и b = -√(49 - x^2)
2. ...прямая имеет две общие точки с окружностью:
b - любое вещественное число
3. ...прямая не имеет общих точек с окружностью:
|b| > 7