Question

Вариант 2 Найдите первообразную для следующих функций:
А) f(x) =1/7;
Б) f(x) = x^9;
В) f(x) = 1/x^6 ;
Г) f(x) = x^5+8x^3-√5;
Д) f(x) = 4 +〖 sin〗⁡x;
Е) f(x) = 〖(2-7x)〗^4;
Ж) f(x) = 1/sin^2⁡〖(4x-π/(3))〗 .
2. Найдите первообразную для следующих функций, проходящую через точку М:
А) f(x) = 4x^3 + 10x -9, M(3; 15);
Б) f(x) = 6/cos^2⁡x , M( π/4;-7).

Answer 1

А) У нас дана функция f(x) = 1/7. Чтобы найти первообразную функцию (интеграл) для этой функции, мы должны найти функцию F(x), производная от которой будет равна f(x).

Так как f(x) = 1/7 - это константа, то производная от константы равна нулю. Поэтому функция F(x) = (1/7)x + C является первообразной для f(x), где С - произвольная постоянная.

Б) Дана функция f(x) = x^9. Чтобы найти первообразную функцию для нее, мы должны использовать аналогичные правила интегрирования.

Используя формулу для степенной функции, мы получим, что F(x) = (1/10)x^10 + C является первообразной для f(x), где С - произвольная постоянная.

В) Дана функция f(x) = 1/x^6. Опять же, мы используем правила интегрирования для степенных функций.

Используя формулу для степенной функции, мы получим, что F(x) = (-1/5)x^-5 + C является первообразной для f(x), где С - произвольная постоянная.

Г) Дана функция f(x) = x^5 + 8x^3 - √5. Чтобы найти первообразную функцию для нее, мы должны интегрировать каждый терм отдельно.

Используя формулу для степенной функции, мы получим, что первообразная для x^5 равна (1/6)x^6, первообразная для 8x^3 равна (8/4)x^4 = 2x^4, а первообразная для √5 равна (√5)x.

Поэтому первообразная функция F(x) для f(x) = x^5 + 8x^3 - √5 будет равна F(x) = (1/6)x^6 + 2x^4 + (√5)x + C, где С - произвольная постоянная.

Д) Дана функция f(x) = 4 + sin(x). Чтобы найти первообразную для этой функции, мы должны использовать стандартные правила интегрирования.

Интеграл от константы 4 равен 4x, и интеграл от sin(x) равен -cos(x).

Поэтому первообразная функция F(x) для f(x) = 4 + sin(x) будет равна F(x) = 4x - cos(x) + C, где С - произвольная постоянная.

Е) Дана функция f(x) = (2-7x)^4. Чтобы найти первообразную для этой функции, мы можем использовать правила для биномиальных коэффициентов.

При интегрировании биномиальной функции мы должны использовать формулу (а+n)/(n+1) * (x^(n+1)), где а - коэффициент перед x, n - степень.

Используя эту формулу для данной функции, мы получим, что первообразная функция F(x) для f(x) = (2-7x)^4 будет равна F(x) = (1/5) * (2-7x)^5 + C, где С - произвольная постоянная.

Ж) Дана функция f(x) = 1/sin^2(4x-π/3). Чтобы найти первообразную для этой функции, мы можем использовать тригонометрическую замену.

Мы заменяем sin^2(4x-π/3) на (1-cos^2(4x-π/3)), используя тригонометрическую тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Получаем f(x) = 1/(1-cos^2(4x-π/3)).

Затем, используя формулу для интеграла 1/(1-x^2), мы получаем первообразную функцию F(x) для данной функции.

F(x) = arctan(x) + C, где С - произвольная постоянная.

Итак, мы нашли первообразные для всех заданных функций и выразили их в виде функций F(x), где С - произвольная постоянная.