2. Составить уравнение и построить эллипс, если его полуоси равны 5 и 2. 3. Составить уравнение и построить гиперболу, если 2а = 10 и 2b = 8.
4. Найти точку пересечения окружности (х-5)2 + (у-3)2 =16 и прямой у=2х
5.Найти периметр и площадь прямоугольника, вершины которого совпадают с вершинами эллипса
Х2/25 +у2/81=1
6.Постройте гиперболу Х2/25 - у2/9=1 Какие из точек принадлежат данной гиперболе? А(0;5) В(5;3) С(-5;-3) Д(0;0) Е(5;-3)
3. Уравнение гиперболы имеет вид: (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1, где a и b - полуоси гиперболы. В данном случае 2a = 10 и 2b = 8, поэтому a = 10/2 = 5 и b = 8/2 = 4. Тогда уравнение гиперболы будет: (x/5)^2 - (y/4)^2 = 1. Чтобы построить гиперболу, нужно на графике отметить центр гиперболы (0,0) и растянуть ее по осям x и y согласно полуосям.
4. Чтобы найти точку пересечения окружности и прямой, нужно решить систему уравнений:
(x-5)^2 + (y-3)^2 = 16 и y = 2x.
Подставляем выражение для y в первое уравнение:
(x-5)^2 + (2x-3)^2 = 16
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
x^2 - 10x + 25 + 4x^2 - 12x + 9 = 16
5x^2 - 22x + 18 = 16
5x^2 - 22x + 2 = 0
Решаем эту квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = (-22)^2 - 4 * 5 * 2 = 484 - 40 = 444
x1 = (22 + √444) / 10
x2 = (22 - √444) / 10
Подставляем найденные значения x в уравнение y = 2x:
y1 = 2 * x1
y2 = 2 * x2
Точки пересечения окружности и прямой: (x1, y1) и (x2, y2).
5. Чтобы найти периметр прямоугольника, вершины которого совпадают с вершинами эллипса, нужно найти координаты вершин эллипса и вычислить длины его сторон. Для этого подставляем значения x и y, равные полуосям, в уравнение эллипса:
x^2/25 + y^2/81 = 1
Получаем следующие точки вершин: (-5, 0), (5, 0), (0, 9), и (0, -9).
После этого можно просто вычислить длины сторон прямоугольника, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]
BC = √[(x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2]
CD = √[(x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2]
DA = √[(x1 - x4)^2 + (y1 - y4)^2]
Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон: AB + BC + CD + DA.
Площадь прямоугольника можно найти, умножив длину одной из сторон на длину другой стороны.
6. Гипербола имеет уравнение вида: (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1, где a и b - полуоси гиперболы. В данном случае a = 5 и b = 3. Подставляем значения в уравнение и получаем: (x/5)^2 - (y/3)^2 = 1. Для того чтобы узнать, какие из точек принадлежат данной гиперболе, подставляем координаты каждой точки в уравнение гиперболы. Если левая часть уравнения будет равняться правой части, то точка принадлежит гиперболе, иначе - не принадлежит:
A: (0/5)^2 - (5/3)^2 = 1 - 25/9 = -16/9 ≠ 1, точка А не принадлежит гиперболе.
B: (5/5)^2 - (3/3)^2 = 1 - 1 = 0 = 1, точка В принадлежит гиперболе.
C: (-5/5)^2 - (-3/3)^2 = 1 - 1 = 0 = 1, точка С принадлежит гиперболе.
Д: (0/5)^2 - (0/3)^2 = 1 - 0 = 1 = 1, точка Д принадлежит гиперболе.
Е: (5/5)^2 - (-3/3)^2 = 1 - 1 = 0 = 1, точка Е принадлежит гиперболе.